Читаем Суперфрактал онлайн бесплатно

Напомним алгоритм построения «салфетки Серпинского» с помощью системы итерируемых функций в его графической форме.

Представленная на рисунке система итерированных функций основана на отношении 1/2. Назовем ее системой F.

Добавим вторую систему итерированных функций, точно такую, как и первая, но основанную на отношении 1/3. Обозначим эту систему как G. Пусть обе системы имеют одни и те же фиксированные точки исходного треугольника. Их аттракторы S_F:F (1/2) и S_g: G (1/3) показаны на рисунке.

На следующем рисунке показаны первые три поколения формирования суперфракталов с V = 1, V = 2 и V = 3. Там же приведены соответствующие им символические «деревья»...

Фракталы, построенные на базе систем итерируемых функций F и G c V=1, V=2 u V→∞ соответственно. (Источник: Robert Scealy. V-variable fractals and interpolation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy of the Australian National University. April 20,2009, 93 p.)

Теперь рассмотрим аттрактор подобных форм при многократной трансформации «салфетки Серпинского» двумя системами итерируемых функций F и G при степени изменчивости V = 2. Результат таких трансформаций показан на рисунке.

Суперфрактал «салфетка Серпинского». (Источник: Notices of the AMS Volume 57, Number I)

Фрагмент суперфрактала, построенного на основе систем итерируемых функций «салфетки Серпинского» с V = 2, показан слева. Присмотревшись к этому фрагменту, вы замечаете, что он состоит из двух симметричных субфрагментов. Если присмотреться еще более внимательно, то обнаружится, что субфрагменты состоят из симметричных подфрагментов и так далее.

Из рисунка мы видим, что суперфракталы обладают локальной симметрией и масштабным подобием. Они не зависят от структуры исходных объектов. Их форма есть сложный аттрактор систем итерируемых функций, «склеенный» посредством вероятностного распределения случайного выбора операций.

В методе Барнсли вероятность управляет последовательностью применения того или иного оператора. При таком подходе случайные величины, проходя через организованную матрицу операций, производят предопределенную форму, точки которой, вновь пропущенные через ту же матрицу, произведут то же множество. Совсем иной алгоритм использован при построении алеаторных фракталов.

Нас окружают повторяющиеся процессы. Их повторение происходит не в клинически чистых условиях, но в поле воздействия многих случайных влияний. Искажения возникают при каждом повторении одной и той же операции. В математической модели такое искажение может быть учтено обращением к генератору случайных чисел при каждом новом повторе. Сам процесс повторения со случайным отклонением можно назвать «алеаторным повторением».

Суть идеи «алеаторного повторения» поясним примером обычного производственного процесса. Пусть одни и те же процессы и процедуры изо дня в день повторяются на предприятиях в Санкт-Петербурге и в Тбилиси. Эти процессы повторяются не в «безвоздушном стерильном пространстве», но в атмосфере постоянного влияния внешних факторов — от макроэкономических до микробиологических. В результате бизнес-процессы становятся уникальными настолько, что структуры компаний в Санкт-Петербурге и в Тбилиси существенно отличаются друг от друга притом, что обе компании производят и поставляют на рынок один и тот же продукт.

Модель, которая может производить разные структуры при сохранении типовых процессов, должна включать случайные вмешательства, приходящие извне. Такую математическую модель мы можем реализовать при построении фракталов. На каждом шаге построения фрактала мы станем обращаться к генератору случайных чисел.

Алеаторные фракталы отличаются от фракталов, построенных с помощью СИФ-алгоритмов тем, что операции на каждом шаге построения алеаторных фракталов остаются одинаковыми.

СИФ-алгоритм чередует операции из заданного перечня операций с определенной вероятностью. Так, погода может изменить наши планы на выходные дни, но в течение рабочей недели возможность изменения плана весьма ограничена.