Читаем Суперфрактал онлайн бесплатно

Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем, 1000 V. В области, окружающей проводник, потенциал падает до ноля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии. Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 V, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 V, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 V уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашиваются одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью. В 1983 году француз Адриен Дуади и американец Джон Хаббард доказали, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х₀ = 0.

Множество Мандельброта с эквипотенциальными линиями и силовыми линиями поля

Множество Мандельброта не относится к множествам Жюлиа, но они теснейшим образом связаны и структурно подобны. На это указывает тот факт, что формы отдельных фрагментов множества Мандельброта напоминают формы множества Жюлиа. Множество Мандельброта появилось как следствие исследования границы между сплошными и разрывными множествами Жюлиа. Именно граница множества Мандельброта указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр С покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Этот переход «в пыль» связан с тем, что каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. На определенном удалении от скопления аттракторов такое пересечение границ теряет свою непрерывность.

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но кроме того он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, он формализовал алгоритм «проб и ошибок», известный со времен античности. Решение начинается с выбора произвольного числа. Далее итерация этого числа по определенному алгоритму приводит к решению. Процесс обыкновенно идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Примером такого итерационного алгоритма служит «метод касательных».

Пусть задана функция ƒ (х), для которой известно приближенное значение ее корня x₁ также значение функции ƒ (x₁) и ее производная ƒ′(x₁). Тогда, проводя касательную к графику функции ƒ (х) в точке х₁ и определяя ее пересечение с осью ОХ, получаем уточненное значение корня, равное х₂. Поскольку уравнение касательной имеет вид

то, приравняв его к нолю, получим формулу для расчета

Теперь, беря значение х₂ в качестве приближенного значения корня и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение х₃ и так далее. Этот процесс быстро сходится к искомому значению корня.

Единственный досадный недостаток этого метода в том, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки и первого шага.

В 1879 году английский математик сэр Артур Кейли (1821-1895) опубликовал работу, в которой рассматривался собственно оператор Ньютона, а не его результаты. Найдя ответ для уравнения 2-й степени, Кейли объявил, что случай многочленов более высокой степени будет представлен в следующей публикации, которая так никогда и не появилась. Лорду Кейли пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным.

Итерация Ньютона производит две области притяжения. Для квадратичного уравнения:

Это область в окрестности z = 1 и область в окрестности z = -1. Граница этих областей разбивает комплексную плоскость на два сектора по 180°. Естественно думать, что существуют три области притяжения, которые разбивают комплексную плоскость на три сектора по 120°. Для кубического уравнения:

Но, как обнаружил Артур Кейли, к своему крайнему изумлению, это не так.