Читаем Суперфрактал онлайн бесплатно

Клеточные автоматы — это дискретные математические модели, в которых простые локальные правила генерируют неожиданно сложное поведение в более крупном масштабе. Вольфрам — один из главных сторонников той точки зрения, что клеточные автоматы — не только увлекательная математическая игра, но и способ объяснить сложность физического мира. Мысли Вольфрама по этому поводу изложены в книге «А New Kind of Science» («Новый вид науки»), которую он опубликовал на свои средства в 2002 году. В частности, в ней Вольфрам утверждает, что информация, полученная благодаря анализу «правила 30», открывает новую научную парадигму примирения порядка и хаоса. Правило представляет интерес, потому что оно порождает сложные, во многих отношениях случайные структуры из простых, четко определенных правил. Вольфрам полагает, что клеточные автоматы в целом и «правило 30» в частности — ключ к пониманию того, как простые правила могут порождать сложные структуры и различное сложное поведение разных природных объектов. В своей книге он задается фундаментальным вопросом о структуре Вселенной и дает неожиданный ответ:

Вне пространства и времени существует символическая реальность. В начале книги я говорил, что необходимо изменить наши представления о реальности так, чтобы признать символ столь же реальным и весомым как вещество и действие. Символ существует вне пространства и вне времени, но он структурирует материю и упорядочивает ее поведение в пространстве и времени. Собственно само пространство и само время есть символические качества, которые доступны нам благодаря шестому чувству — сознанию. Сознание — это такое чувство, которое позволяет воспринимать и различать символы. Символы благодаря своему рациональному и чувственному воздействию формируют реальность, которая поддерживает и производит символический строй.

Мультифракталы — это «составные», «неоднородные» или «комплексные» фракталы, в построении которых задействовано несколько последовательно сменяющих друг друга алгоритмов. Каждый из них генерирует паттерн со своей фрактальной размерностью.

Чтобы пояснить, что такое мультифрактал, рассмотрим примеры.

Если кривая состоит из линии Коха с D = 1,261 и линии Гивена с D =1.465, то из уравнения

численным решением находим D = 1,226. Интересно, что в данном случае имеем точное решение:

Мультифрактальная размерность линии, составленная из кривой Коха и кривой Гивена

Если двухмерный «ковер Серпинского» на основе квадратов имеет фрактальную размерность D = ln8/ln³ = 1,893..., а двухмерный «ковер Серпинского» на основе треугольников имеет фрактальную размерность D = ln³/ln², то полученная на их основе мультифрактальная фигура будет иметь фрактальную размерность D = 1,4483...

«Ковры Серпинского»: а — квадратный; б — треугольный; в — мультифрактальная фигура

Построение двухмасштабного канторовского стержня с l₁ = 1/4 и l₂ = 2/5. Фрактальная размерность такого канторовского множества D = 0,6110

В тонком слое между порядком и хаосом, в окрестности критической точки, происходит каскад бифуркаций и формируется фрактальное множество точек бифуркаций — пыль с интересными и нетривиальными свойствами (в литературе используются также термины «критический аттрактор» или «аттрактор Фейгенбаума»). Эта пыль имеет фрактальную размерность. Для критического аттрактора Фейгенбаума она вычислена с высокой точностью и составляет