Читаем Суперфрактал онлайн бесплатно

По правилу нормировки вероятностей:

Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:

где -∞ ⩽ q ⩽ +∞.

Выдающийся венгерский математик Альфред Реньи как-то высказался:

Он сам был таким «автоматом». После него осталось более трехсот пятидесяти публикаций по теории вероятностей, математической статистике, теории информации, комбинаторике, теории графов, теории чисел и математическому анализу. С октября 1946-го по июнь 1947 года он проходил докторантуру в Ленинградском отделении Математического института им. В. И. Стеклова. За полгода он овладел русским языком и блестяще защитил диссертацию. С 1950 года и до конца жизни А. Реньи возглавлял созданный им Математический институт Академии наук Венгерской Народной Республики. В начале 1960-х годов он обратился к теории размерностей. Появились и стали общепринятыми такие понятия, как размерности Реньи и энтропия Реньи.

Согласно формальному определению спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А, называется совокупность величин:

где

Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. Если d_q = const, т. е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной — фрактальной размерностью d_H. Напротив, если функция dq как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией τ(q), определяющей поведение статистической суммы Z(q, ε) при ε → 0. Следует иметь в виду, что предельный переход при ε→0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N→0.

В случае обычного фрактала функция является линейной.

Тогда все d_q = d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности d_q которого совпадают, часто используется термин «монофрактал». Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то перед нами мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей d_q, число которых, в общем случае, бесконечно.

--165

Так, например, при q→∞ основной вклад в обобщенную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц n_i в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения р_i. Наоборот, при q→-∞ основной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения р_i. Таким образом, функция d_q показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек А.

Например, размерность d₀ представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах. Информационная размерность d₁ представляет собой энтропию фрактального множества и показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки ε к нулю. Корреляционная размерность d₂ определяет зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества А лежат внутри одной ячейки с размером ε.

Важно понимать, что размерности Реньи не являются фрактальными размерностями. При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной запыленностью. Мультифрактальный спектр состоит из ячеек с одинаковой вероятностью запыленности (р_i ~ ε^a). Таким образом,

Факт неравномерной структуры заполнения пространства находит свое отражение в понятии «скважности». Еще в «Технической энциклопедии» П. А. Флоренского в статье «Скважность» сказано, что скважность есть общее свойство твердых тел, сводящееся к неравенству локальных значений занимаемого ими объема. И далее Флоренский поясняет:

«Скважность» есть понятие более глубокое, чем «пористость». Далее у Флоренского мы читаем: