Читаем Жемчужина Эйлера онлайн бесплатно

Вы смогли скачать эту книгу бесплатно на законных основаниях благодаря проекту «Дигитека». Дигитека — это цифровая коллекция лучших научно-популярных книг по самым важным темам — о том, как устроены мы сами и окружающий нас мир. Дигитека создается командой научно-просветительской программы «Всенаука». Чтобы сделать умные книги доступными для всех и при этом достойно вознаградить авторов и издателей, «Всенаука» организовала всенародный сбор средств.

Мы от всего сердца благодарим всех, кто помог освободить лучшие научно-популярные книги из оков рынка! Наша особая благодарность — тем, кто сделал самые значительные пожертвования (имена указаны в порядке поступления вкладов):

Дмитрий Зимин

Алексей Сейкин

Николай Кочкин

Роман Гольд

Максим Кузьмич

Арсений Лозбень

Михаил Бурцев

Ислам Курсаев

Артем Шевченко

Евгений Шевелев

Александр Анисимов

Михаил Калябин

Роман Мойсеев

Никита Скабцов

Святослав Сюрин

Евдоким Шевелев

Мы также от имени всех читателей благодарим за финансовую и организационную помощь:

Российскую государственную библиотеку

Компанию «Яндекс»

Фонд поддержки культурных и образовательных проектов «Русский глобус».

Этот экземпляр книги предназначен только для вашего личного использования. Его распространение, в том числе для извлечения коммерческой выгоды, не допускается.

Euler's Gem

The Polyhedron Formula and the Birth of Topology

DAVID S. RICHESON

PRINCETON UNIVERSITY PRESS

PRINCETON AND OXFORD

Жемчужина Эйлера

Формула Эйлера для многогранников и рождение топологии

ДЭВИД С. РИЧЕСОН

Москва, 2021

УДК 530.1

ББК 22.31

Р56 Жемчужина Эйлера / пер. с англ. А. А. Слинкина. — М.: ДМК Пресс, 2021. — 320 с.: ил.

Автор книги повествует о примечательной формуле Эйлера для многогранников, прослеживая ее историю от древнегреческой геометрии до совсем недавних исследований, а также о многообразном ее влиянии на топологию — науку об изучении формы.

В 1750 году Эйлер заметил, что любой многогранник, имеющий V вершин, E ребер и F граней, удовлетворяет соотношению V — E + F = 2. Из книги вы узнаете, что греки совсем не заметили эту формулу, что Декарт был в шаге от ее открытия, что математики XIX века обобщили ее в направлениях, о которых Эйлер и не подозревал, а в XX веке было доказано, что у любого тела есть своя формула Эйлера. На тщательно подобранных примерах представлены многие элегантные и неожиданные применения этой формулы, например: почему на Земле всегда существует точка, где нет ветра, как измерить площадь лесного участка, посчитав деревья на нем, и сколько разноцветных карандашей необходимо для раскрашивания любой карты.

Издание предназначено для широкого круга любителей математики.

УДК 530.1

ББК 22.31

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher. Russian-language edition copyright © 2021 by DMK Press. All rights reserved.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-12677-7 (анг.)

ISBN 978-5-97060-889-0 (рус.)

© Princeton University Press, 2008

© Оформление, издание,

перевод, ДМК Пресс, 2021

Посвящается Бену и Норе, вашим граням, всем вашим ребрышкам. Люблю вас от вершины до кончиков пальцев

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы думаете об этой книге — что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны.

Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com; при этом укажите название книги в теме письма.

Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно случаются. если вы найдете ошибку в одной из наших книг, мы будем очень благодарны, если вы сообщите о ней главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com. Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить последующие издания этой книги.

Нарушение авторских прав

Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательства «ДМК Пресс» и Princeton очень серьезно относятся к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции.

Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной почты dmkpress@gmail.com.

Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Весной моего последнего года учебы в колледже я сказал приятелю, что осенью собираюсь получать степень доктора философии по математике. Он спросил: «А что ты собираешься делать в аспирантуре: изучать очень большие числа или вычислять новые знаки числа пи?»

Я на опыте знаю, что публика в большинстве своем очень слабо представляет, что такое математика, и уж, конечно, совершенно не понимает, чем занимаются математики. Люди с удивлением узнают, что в математике по-прежнему создается что-то новое. Они думают, что математика сводится к изучению чисел или что это серия курсов, которая обрывается на математическом анализе.

Но лично меня числа никогда особенно не интересовали. Устный счет — не моя стихия. Я могу посчитать, какую часть счета за обед должен оплатить, и вычислить размер чаевых, не прибегая к помощи калькулятора, но это займет у меня столько же времени, сколько у любого другого человека. А матанализ был самым нелюбимым мной предметом в колледже.

Мне нравится находить закономерности — особенно в визуальных образах — и разбираться в запутанных логических рассуждениях. Книжные полки в моем кабинете забиты сборниками задач и головоломок, на полях которых сохранились мои детские пометки. Передвинуть три спички, чтобы образовалась новая фигура, найти в лабиринте путь, удовлетворяющий определенным условиям, разрезать заданную фигуру на части, из которых можно сложить квадрат, добавить в чертеж три отрезка, чтобы получилось девять треугольников, и другие задачки такого рода. Вот чем для меня является математика.

Из-за любви к пространственным, визуальным и логическим задачам я всегда испытывал влечение к геометрии. Но, учась в колледже, я открыл для себя очарование топологии, которую обычно определяют как изучение нежестких фигур. Сочетание красивой абстрактной теории с конкретными пространственными манипуляциями точно отвечало моим математическим вкусам. Гибкое и свободное топологическое представление о мире вселяло в меня ощущение комфорта существования. По сравнению с ним геометрия казалась такой пуританской и консервативной. Если геометрия облачена в строгий пиджак, то топология носит джинсы и футболку.

Эта книга посвящена истории и прославлению топологии. Рассказ начинается с предыстории — геометрии античной Греции и Возрождения и изучения многогранников. Затем мы перейдем к XVIII и XIX столетиям, когда ученые пытались ухватить идею формы и классифицировать объекты, не ограничиваясь жесткими рамками геометрии. И кульминационной точкой станет современная топология, получившая развитие в начале XX века.

В школе и в вузе мы изучали математику по учебникам. В учебниках математика излагается строгим, логически последовательным образом: определение, теорема, доказательство, пример. Но открывали математику не так. Много лет уходило на то, чтобы понять предмет настолько хорошо, чтобы связно изложить его в учебнике. Математика развивается то медленно и постепенно, то гигантскими скачками, бывают шаги в ложном направлении, за которыми следуют исправления и установление связей. В этой книге мы увидим увлекательный процесс математического открытия в действии — как блестящие умы размышляют, задают вопросы, уточняют, развивают и изменяют работы своих предшественников.

Я не стал просто излагать историю топологии, а взял формулу Эйлера для многогранников в качестве путеводителя. Открытая в 1750-м, формула Эйлера знаменует начало перехода от геометрии к топологии. Мы проследим, как эта формула из любопытного курьеза превратилась в глубокую и полезную теорему.

Формула Эйлера — идеальный путеводитель, потому что заводит в изумительные помещения, куда редко заглядывают посетители. Идя по ее следам, мы познакомимся с самыми интригующими областями математики — геометрией, комбинаторикой, теорией графов, теорией узлов, дифференциальной геометрией, динамическими системами и топологией. С этими красивейшими предметами типичный студент, даже специализирующийся в математике, может никогда не встретиться.

Кроме того, по пути я буду иметь удовольствие представить читателю некоторых величайших математиков всех времен: Пифагора, Евклида, Кеплера, Декарта, Эйлера, Коши, Гаусса, Римана, Пуанкаре и многих других — все они внесли важный вклад в эту область и в математику в целом.

Никаких формальных предварительных знаний для чтения этой книги не требуется. Математики, изучаемой в средней школе, — алгебры, тригонометрии, геометрии — достаточно, но большая ее часть к обсуждаемой теме не имеет отношения. Книга вполне самостоятельна, а в тех редких случаях, когда это необходимо, я буду напоминать читателю факты из этих математических дисциплин.

Но не впадайте в заблуждение — некоторые излагаемые идеи весьма сложны и абстрактны, представить их наглядно нелегко. Читатель должен быть готов воспринимать логические рассуждения и мыслить абстрактно. Чтение математического текста — совсем не то же самое, что романа. Иногда нужно остановиться и обдумать каждое предложение, еще раз прочитать рассуждение, попытаться придумать другие примеры, внимательно рассмотреть рисунки в тексте, представить картину в целом и заглянуть в предметный указатель, чтобы вспомнить точный смысл термина.

Конечно, не будет никаких домашних заданий и выпускного экзамена в конце книги. Вовсе не стыдно пропустить трудные места. Если в каком-то особенно каверзном рассуждении никак не удается разобраться, переходите к следующей теме. Это не помешает восприятию других частей книги. Можете загнуть уголок страницы и вернуться к ней позже.

Я полагаю, что аудитория этой книги отбирается сама собой. Всякий, кто хочет ее прочесть, сможет это сделать. Эта книга не для всех, но те, кто не в состоянии понять и оценить математику, наверное, не стали бы ей даже интересоваться.

У меня есть одно весьма ценное преимущество — я никогда не писал учебников. Я изо всех сил старался быть честным и строгим в описании математики, но мог позволить себе роскошь опускать докучные детали, которые больше запутывают, чем проясняют. Поэтому я мог вести изложение на более высоком уровне, сосредоточившись на идеях, интуитивном понимании и общей картине. По необходимости я вынужден был ограничиться в этой книге лишь поверхностным обсуждением многих чарующих идей. Если вы захотите узнать больше о рассматриваемых темах или восполнить недостающие детали, то обратитесь к рекомендованной в приложении B литературе.

Хотя эта книга доступна широкой аудитории, я писал ее также для математиков. Местами она пересекается с другими книгами, но я не знаю ни одной, в которой бы содержалась вся изложенная здесь информация. В конце книги приведена обширная библиография, в т. ч. ссылки на многие оригинальные статьи. Это поможет ученым, желающим глубже покопаться в предмете.

Эта книга организована следующим образом. В главах 2, 3, 4, 5 и 6 описывается теория многогранников, существовавшая до Эйлера. В основном речь в них идет о самом знаменитом классе — правильных многогранниках. В главах 7, 9, 10, 12 и 15 представлена формула Эйлера для многогранников и ее обобщения на другие жесткие многогранные тела. Это обсуждение событий, имевших место до середины XIX века. Главы 16, 17, 22 и 23 посвящены топологической интерпретации формулы Эйлера, развитой в конце столетия. Сюда входят обобщения на поверхности и многомерные топологические объекты.

В книге также упоминаются многочисленные приложения формулы Эйлера. В главе 8 описаны ее элементарные применения, в главах 11, 13 и 14 — применения в теории графов. В главах 18, 19, 20 и 21 речь пойдет о поверхностях, их связях с формулой Эйлера, а также о ее применениях к теории узлов, динамическим системам и геометрии.

Надеюсь, что вы испытаете такое же удовольствие от чтения этой книги, какое испытывал я, когда писал ее. Для меня весь этот проект стал гигантской головоломкой — академической «охотой за предметами». Поиск нужных кусочков и соединение их в связную историю было для меня вызовом и источником восторгов. Я люблю свою работу.

Дэйв Ричесон,

колледж Дикинсон,

6 июля 2007

Приложения к главе

1. Quoted in Schechter (1998), 155.