Читаем Пути в незнаемое онлайн бесплатно

Кто из нас и состоянии восстановить в памяти первые месяцы своей жизни на этой земле? Все распластано в одной плоскости, нет ни «верха», ни «низа», ни «левого», ни «правого». Каким образом этот первоначально сплошной мир разделяется на такие «вещи», как мама и папа, соска и солнце? Как они различаются и узнаются?

К несчастью для кибернетики, этого невозможно ни вспомнить, ни вообразить, ни даже понять. К несчастью — потому, что в растущем человеке природа демонстрирует нам стремительно развивающийся, самоорганизующийся автомат — совершеннейший образец для моделей обучения и распознавания.

Но можно дать человеку четырех лет карандаш и попросить его нарисовать, положим, квадрат. Скорее всего вы не сумеете отличить этот квадрат от круга. Но если убедить ребенка «постараться», он дополнит замкнутую кривую четырьмя черточками, призванными обозначать углы. Тот мир, в котором ребенок живет и который он спроектирует для нас на бумагу, будет отвечать натуре лишь в одном, но, оказывается, очень важном отношении: он точно отражает те фундаментальные свойства физического мира, которые в XX веке стали называть «топологическими».

Современная математика делит все метаморфозы, случающиеся в природе, на несколько групп преобразований. Такой подход очень прост и полезен, и поэтому стоит на нем немного задержаться.

В мире нет ничего, кроме движущихся вещей. Но их слишком много, и все они — слишком разные. А потому в науке часто удобнее иметь дело не с вещами, а с их свойствами. Каждую вещь мы представляем набором свойств, а далее — смотрим, что происходит с ними в движущемся мире. Одни свойства исчезают, другие — пока вещь остается «сама собой» — сохраняются. Их-то и называют инвариантами — «неизменными» — соответствующих преобразований.

Самое «слабое» из преобразований, которому может быть подвергнута вещь в нашем мире, — это простое перемещение. Самое «сильное» — непрерывная деформация: изгиб, растяжение, скручивание. Инварианты первой группы преобразований называют метрическими, а второй — топологическими. Между ними размещают все остальные: конформные, афинные, проекционные. От метрического к топологическому полюсу этого ряда падает роль количества и возрастает значение порядка.

К метрическим свойствам вещей (и самого пространства) относятся длина, прямолинейность и величина углов. Вещи, окружающие нас в быту, настолько прочны, что эти свойства легко сохраняются. Поэтому, для внесения в такое пространство «меры» достаточно простой линейки.

Тот, кто увлекается фотографией, имеет дело с проекционными свойствами мира. Прямолинейность еще сохраняется, но длина и углы уже приносятся в жертву той легкости обращения с действительностью, которую дает отпечаток.

А вот «ряд волшебных изменений милого лица» — это уже ряд топологических преобразований. Толковать здесь о величине углов, кривизне, площадях бесполезно. Можно только потребовать, чтобы в «окрестностях» любой точки этого объекта сохранялся один и тот же порядок. Изменяющееся, но узнаваемое лицо — вот типичный топологический инвариант.

Разумеется, породили топологию потребности не физиогномики, а математики и физики. Необходимость понять такие свойства микро- и мегаобъектов, которые вообще невыразимы в количестве (метрически). В глубинах нашего мира происходят превращения настолько странные, что и не расскажешь о них иначе, чем в терминах: «замкнутость», «близость», «связность».

На поверхность нашего обыденного опыта они выходят удивительными свойствами таких фигур, как, скажем, лента Мёбиуса. Это обычная плоская лента, концы которой перед склеиванием поворачивают на 180 градусов. Но достаточно произвести эти простые операции, чтобы получить объект, как будто специально предназначенный для математических фокусов.

Но попробуйте с помощью линейки зафиксировать отличие ленты Мёбиуса от кольца! Не помогут тут и проективные преобразования: и ленту, и кольцо всегда можно спроектировать так, что проекции будут неразличимы. Приходится вводить специальное понятие «ориентированности» и думать над тем, зачем ее выдумала природа. Ведь раньше оно считалось качественным, не подлежащим исследованию.

Длительное время казалось, что наука навсегда связала себя с поиском числа — измерением. Оказывается, это не так. В мире есть формы порядка, глубоко чуждые числовому; и все же они доступны точному анализу — это доказывает топология. И они важнее числового. В частности, потому, что вопрос «как понять?» здесь уже не подменишь привычным «как измерить?».

«Я мог бы замкнуться в ореховой скорлупе и считать себя властелином бесконечного пространства… — признавался принц Датский. — Если бы мне не снились дурные сны». Но беспокойные сны нетрудно перенести. А вот когда, по слову того же Гамлета, «рвется связь времен» — это уже трагедия.

И принц прав. Если бы вселенная сжалась до размеров грецкого ореха или ускорила все свои процессы в произвольное число раз, то никакими измерениями этого не удалось бы обнаружить. Оставалось бы положиться разве что на свои сны.

Но допустим, что где-то в пространственных или временных связях нашего мира нарушилось топологическое свойство непрерывности: в окрестностях «здесь» или «теперь» затаились разрывы. Тогда такие путешествия во времени, как появление в «Гамлете» Призрака на крепостной стене, вошли бы и дурную привычку. В пространстве тоже случались бы невероятные вещи, подобные, скажем, происшествию с гоголевским майором Ковалевым. Вообразите себе только ваше неудовольствие, когда, просыпаясь, вы обнаруживаете на месте носа в «окрестностях» щек совершенно гладкое место! Ясно, что мир, в котором призраки гуляют по стенам, а носы исчезают и возникают беспричинно, не заслуживает доверия.

Наивысшую степень инвариантности вещей, пространств, времен гарантирует нам топология. И потому мы вместе с принцем Датским и майором Ковалевым оцениваем топологический порядок выше, чем числовой.

Во всем множестве приключений, которые могут случиться с вещью в любом из миров, известных науке, наибольшую «выживаемость» обнаруживают топологические структуры. Они характеризуют объект с наиболее глубокой стороны и поэтому по праву считаются самыми фундаментальными. Да и логически они первичны: все теоремы, доказанные в топологической геометрии, автоматически справедливы и для проекционной и для евклидовой. Исторически же построение математики продвигалось от открытия и изучения метрических и — далее — проекционных структур к топологическим.

Однако простые опыты, которые вы можете провести с ребенком, обнаружат весьма странную вещь. Впрочем, эти опыты уже провел швейцарский психолог Жан Пиаже. И показал, что становление геометрических структур у ребенка полностью отвечает логическому строению математики и, напротив, противостоит ее историческому развитию.

Как только в каракулях ребенка начинает проглядывать какой-то смысл (3–4 года), он чутко реагирует именно на топологические признаки вещей. Например, он легко отделит замкнутую фигуру от открытой («замкнутость»), предмет с отверстием — от сплошного предмета («связность»). Но только через несколько лет он заметит различия между прямолинейными и криволинейными фигурами, то есть отреагирует на метрику пространства.

А что происходит в школах? Во всех странах мира геометрию начинают изучать приблизительно в 11 лет. Начинают сразу с измерений (метрической, евклидовой геометрии), а заканчивают основами топологии в университетах. Стихийно сложилось так, что фазы обучения повторяют исторический путь создания математики, но зато они вступают в противоречие с естественными способностями человека. Традиционное академическое обучение не только не извлекает никакой пользы из «самоорганизации» ребенка, но и тормозит ее.

Как ни важны эти результаты для школьной педагогики, значение их этим далеко не исчерпывается. Самый дальний замысел Пиаже — заинтересовать ими не математиков-учителей, а математиков-теоретиков. В самом деле, почему ребенок, чьими ошибками мы привыкли забавляться, удивительным образом ухитряется чувствовать в вещах самое главное — с математической и логической точек зрения? Почему «археология» мышления повторяет «архитектуру» математики?

Ведущий систематизатор современности Николай Бурбаки утверждает, что в основании грандиозного здания всей математики лежат три «великие материнские структуры»: алгебра, топология и порядок. Но то, что он делает исключительно из соображений логической завершенности, получает совершенно неожиданное обоснование в фактах детской психологии. Оказывается, ребенок тоже начинает свою сознательную жизнь с освоения этих структур. Другой факт: в представлении о пространстве — времени ребенку, как выяснилось в опытах Пиаже, легче усвоить исходную точку зрения Эйнштейна, чем Ньютона!

Не следует ли из всего этого, что ученым надо рекомендовать творческие командировки в ясли — на предмет извлечения из детского лепета великих законов природы? Если ребенок «чувствует» логику строения современной науки, то не получается ли, что человеку едва не с пеленок уже дана та полнота знания, которая науке стоила героических усилий? Быть может, достаточно покопаться в себе самом, чтобы вытащить все это на свет божий?

К этому как будто и приглашала религия. Развивая известное положение об истине, глаголемой устами младенца, она утверждала, что высшую правду бог скрыл от книжников и фарисеев, но открыл «немудрым».

Едва ли надо говорить, что факты, о которых шла речь, говорят во славу не младенца, а современной науки.

Детские формы «контакта» с миром отвечают простейшему, исходному строению интеллекта. Разумеется, ребенок ничего не знает о топологии и никогда сам по себе не узнает о ней. А вот отзываться на самые обобщенные и устойчивые формы закона, заложенного в вещах, он должен. Если язык топологии — новейшей науки — внятен ребенку, значит, математика подбирается сегодня к основам основ порядка, заложенного в природе.

Топология отражает порядок, одинаково характерный для любой ступени организации материи. Но если даже «дезорганизовать» материю, вывернуть ее до простейшего нутра — все равно останется некоторый минимум организованности. Он-то и будет топологическим, и он универсален и прост.

В топологии математика подошла к изучению качества вещей. Для своих специальных нужд она выработала понятия настолько универсальные, что по уровню своей общности они сближаются с философскими категориями.

Вспомним теперь про других «геометров» — про племя художников, из века в век призывающих видеть мир глазами ребенка.

Если бы в XIX веке математика спросили: что будет, если квадрат, нарисованный на бумаге, увеличить, скажем, в миллиард раз, он пожал бы плечами и сказал: «Да ничего…»

Но сегодня уже и школьник знает, что любая геометрическая фигура, если позволить ее размерам выйти за пределы земных масштабов, исказится. Как только мерой сторон квадрата станут космические расстояния, эти стороны выгнутся, углы перестанут быть прямыми. Словом, квадрат деформируется так, как предписано ему кодексом небесной геометрии Лобачевского (или Римана). Столь же неожиданным образом поведет себя квадрат и в микромире — сильные электромагнитные или гравитационные поля «размоют» его метрику.

Один из великих маэстро, умеющих и в старости «относиться ко вселенной так, будто ей не более суток от роду», — французский художник Анри Матисс как-то обмолвился, что если бы понадобилось увеличить формат полотна в 10 раз, то он не смог бы ограничиться простым увеличением всех его размеров. Пришлось бы, сказал он, изменять и пропорции.

Зачем? Не затем ли, что в своей художнической деятельности человек давно «отреагировал» на то тонкое, хотя и фундаментальное, отличие метрики пространства от его топологии, которое открыто естествознанием совсем недавно и до сих пор остается достоянием чистой теории?

Художник всегда чувствовал в вещах свойства более глубокие, чем только метрические или проекционные. Не потому ли он тысячелетиями деформирует образы вещей?

Геометрические формы где-то в глубинах нашей психики связаны со звуковыми, музыкальными. Вот, например, два одинаково бессмысленных и различных только по своему звучанию набора букв: «волюма» и «такете». Однако вы обязательно свяжете с первым звучанием восприятие плавной и округлой, а со вторым — изломанной и колючей геометрической формы. Точно так же «толстым» кажется низкий, а «тонким» — высокий звук.

Значит, средств у художника не так уж и мало. И одно из них — прямое и целенаправленное нарушение метрики. Метрическая безукоризненность нашего домашнего пространства явно избыточна. Ее трудно воспринять эстетически. Если сравнить технический снимок с художественным, то второй будет наверняка менее точным.

Современная физика утверждает, что мы живем в «кривом» мире, но занимаем в нем столь крохотный участок, что закономерности кривизны не успевают проявиться — их нельзя замерить. А почувствовать? Кто знает, где предел человеческой чувствительности к воздействию мира? Ведь ничего не ведая о вспышках на Солнце, человек отзывается на них «самочувствием».

«Измеряй все, что можно измерить!» — таково завещание Галилея. Мы честно измеряем, но только ли приборами? Не является ли и чувство одним из способов внесения меры в мир вещей?

Сравнительно недавно профессор П. В. Симонов выдвинул «информационную» теорию эмоций, согласно которой эмоции восполняют недостаток информации. Именно они позволяют человеку действовать правильно даже в условиях острого дефицита информации. Но что значит — восполнить? Недостаток пищи я могу восполнить чем-то съедобным. Недостаток знания можно возместить только знанием — пусть и «особого рода».