Читаем Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить онлайн бесплатно

Вы смогли скачать эту книгу бесплатно и легально благодаря проекту «Дигитека». Дигитека — это цифровая коллекция лучших научно-популярных книг по самым важным темам — о том, как устроены мы сами и окружающий нас мир. Дигитека создается командой научно-просветительской программы «Всенаука». Чтобы сделать умные книги бесплатными, достойно вознаградив авторов и издателей, Всенаука организовала всенародный сбор средств.

Мы от всего сердца благодарим всех, кто помог освободить лучшие научно-популярные книги из оков рынка! Наша особая благодарность — тем, кто сделал самые значительные пожертвования (имена указаны в порядке поступления вкладов):

Дмитрий Зимин

Екатерина Васильева

Зинаида Стаина

Григорий Сапунов

Иван Пономарев

Анастасия Азбель

Николай Кочкин

Алексей Чмутов

Роман Кишаев

Сергей Вязьмин

Сергей Попов

Алина Федосова

Алексей Озоль

Роберт Имангулов

Алексей Волков

Александр Мусаев

Денис Бесков

Руслан Кундельский

Иван Брушлинский

Роман Гольд

Евгений Шевелев

Руслан Додыханов

Максим Кузьмич

Мы также от имени всех читателей благодарим за финансовую помощь негосударственный институт развития «Иннопрактика» и Фонд поддержки культурных и образовательных проектов «Русский глобус».

Этот экземпляр книги предназначен только для личного использования. Его распространение, в том числе для извлечения коммерческой выгоды, не допускается.

Кранц С. К78

Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить / С. Кранц. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.

ISBN 978-5-00101-896-4

УДК 51.1 ББК 22.1

Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить / С. Кранц. — 2-е изд. — М.: Лаборатория знаний, 2017. — 320 с.: ил.

ISBN 978-5-00101-064-7

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

Translation from English language edition: The Proof is in the Pudding by Steven G. Krantz

© 2011 Springer New York Springer New York is a part of Springer Science+Business Media All Rights Reserved

© Лаборатория знаний, 2016

Посвящается Джерри Лайонсу,

учителю и другу

Название этой книги не совсем уж легкомысленное[1]. Я так и слышу упреки, что правильно говорить «The proof of the pudding is in the eating», что нет никакого смысла во фразе «The proof is in the pudding». Однако так все говорят, и совершенно ясно, что при этом имеют в виду. Так же и с математическим доказательством. Доказательство в математике — психологический инструмент, предназначенный для убеждения некоего лица или аудитории в том, что некоторое математическое утверждение истинно. Структуру и язык для построения такого доказательства выбирает его автор, но оно должно быть скроено по меркам той аудитории, которая будет его воспринимать и оценивать. Поэтому не бывает «единственного» или «правильного», или «наилучшего» доказательства какого бы то ни было результата. Доказательство — часть ситуациональной этики: ситуации меняются, математические ценности и стандарты развиваются и эволюционируют, и именно таким изменчивым путем математика меняется и растет.

Эта книга об изменчивой и растущей природе математического доказательства. В ранней математике «истины» устанавливались эвристически и эмпирически. Основное внимание уделялось вычислениям. Почти не было теории, никакого формализма, и очень мало математических обозначений в том виде, как мы сейчас их понимаем. Поэтому те, кто желали изучить какие-либо математические вопросы, оказывались в невыгодном положении — им было сложно выражать свои мысли. Особенно сложно было формулировать общие утверждения о математических идеях. Практически невозможно было формулировать теоремы и доказывать их.

Хотя есть некоторые намеки на доказательства даже в табличках древнего Вавилона (таких как Плимптон 322) за 1800 до н. э., понятие доказательства возникло, видимо, только в Древней Греции. Самые ранние математические таблички содержали числа и элементарные вычисления. Из-за скудости текстов, дошедших до наших дней, мы не знаем, как это случилось, как кому-то пришло в голову, что некоторые из математических процедур требуют логического обоснования. И мы действительно не представляем, как возникло формальное понятие доказательства. «Республика» Платона уже содержит явное его описание. В «Физике» Аристотеля не просто обсуждаются доказательства, но изучаются тонкие различия в их методах. Многие древние греки, включая Евдокса, Теэтета, Фалеса, Евклида и Пифагора, либо использовали доказательства, либо ссылались на них. Протагор был софистом, работы которого признавал сам Платон. Его «Антилогии» были искусно сплетенными строгими рассуждениями, которые можно считать ростками доказательств.

Считается, что Евклид был первым, кто систематически использовал точные определения, аксиомы, строгие правила логики, чтобы сформулировать и доказать каждое утверждение (т. е. каждую теорему). Формализм Евклида, как и его методология, стал образцом — и даже для наших современников — для установления математических фактов.

Интересно, что математическая формулировка факта — это самостоятельная сущность, обладающая собственной ценностью и значимостью. А доказательство — это средство общения. Создатель или первооткрыватель нового математического результата хочет, чтобы другие тоже его приняли и в него поверили. В естественных науках (химии, биологии или физике, например) для этого используется специальный метод — воспроизводимый эксперимент[2]. Для математика воспроизводимый эксперимент — это доказательство, которое может прочесть, понять и оценить другой человек.

Идея доказательства возникает в разных жизненных ситуациях, не только в математике. В суде юрист (адвокат или прокурор) должен установить истину с помощью принятых версий доказательств. Для криминального дела это означает «вне разумных сомнений», а для гражданского — что доводы одной стороны должны перевешивать доводы другой. К математическим доказательствам такое представление не приближается ни на йоту. В реальном окружающем нас мире нет формальных определений или аксиом; нет смысла устанавливать факты путем строгих интерпретаций. Адвокат использует, конечно же, логику. Скажем, «обвиняемый слеп и поэтому не мог вести машину в Каньон Топанга ночью 23 марта» или «обвиняемый неграмотен и поэтому не мог построить атомную бомбу, которая использовалась с целью…». Но главное орудие адвоката, конечно же, не логика, а факты. Адвокат приводит доводы, не допускающие разумных сомнений, собирая доказательства с решительным перевесом в пользу своего клиента.

В то же время в обычной, в повседневной речи тоже есть понятие доказательства, и оно тоже отличается от математического. Муж может сказать «Думаю, моя жена беременна», в то время как жена может это знать наверняка. Беременность — это не вневременный непреложный факт (вроде теоремы Пифагора), а факт «временный», который нарушится через несколько месяцев. Так что в этом контексте понятие истины отличается от того, что используется в математике, и методы проверки истинности тоже. В действительности здесь проявляется различие между знанием и уверенностью, которая никогда не играет формальной роли в математике.

В современном обществе «доказательств» для предъявления штрафа за превышение скорости нужно гораздо меньше, чем для обвинения в убийстве. Похоже, что еще меньше доказательств требуется для оправдания военных действий[3]. Широкая панорама мнений о современном понятии доказательства — в самых разных контекстах — представлена в [NCBI]. Говорят (см. [MCI]), что в некоторых областях математики (таких как топология малой размерности) доказательство можно пересказать на языке жестов.

Французский математик Жан Лере (1906–1998) так пишет о системе ценностей в современной математике.

…разные области математики нераздельны как части живого организма; как живой организм, математика должна постоянно создаваться заново; каждое поколение должно перестроить ее вновь — шире, больше и прекраснее прежней. Смерть математических исследований стала бы концом математического мышления, которое составляет структуру научного языка, и таким образом, концом нашей научной цивилизации. Поэтому мы должны передать нашим детям силу характера, моральные ценности и стремление к полной жизни.

Лере говорит нам, что математические идеи хорошо приживаются на новых местах и хорошо переносят проверку временем, потому что у нас есть такой строгий и проверенный стандарт для формулирования и записи идей. Это великая традиция, она стоит того, чтобы ее сохраняли.

В доказательстве есть и человеческий фактор, который нельзя игнорировать. Принятие новой математической истины — это социологический процесс. Это что-то, что происходит в математическом сообществе. Оно включает понимание, усваивание, обдумывание и обсуждение. Самые выдающиеся математики иногда ошибаются и объявляют новые результаты, а потом выясняется, что неизвестно, как их доказать. В 1879 г. А. Кемпе опубликовал доказательство теоремы о четырех красках, и оно продержалось целых 11 лет, пока П. Хивуд не нашел фатальную ошибку в работе. Первая совместная работа Харди и Литтлвуда была заявлена на заседании Лондонского математического общества в июне 1911 г. Но она никогда не была опубликована, поскольку позднее они обнаружили ошибку в доказательстве. Коши, Ламе и Куммер — каждый из них в тот или иной момент своей карьеры полагал, что доказал Великую теорему Ферма. И каждый из них ошибался. Радемахер в 1945 г. думал, что опроверг гипотезу Римана. Его работа была даже опубликована в Time Magazine. Позднее Радемахеру пришлось отозвать свое утверждение, поскольку Зигель нашел ошибку. В этой книге мы изучаем социальную базу математических дисциплин, разбираемся, как во взаимодействии разных математиков и разных математических культур творится форма нашей науки. Математические ошибки исправляются, причем не формальной логикой, а другими математиками. Это один из краеугольных камней нашей науки[4].

В самом начале XX в. Брауэр дал революционное доказательство своей теоремы о неподвижной точке, а спустя некоторое время решительно отрекся от доказательств от противного (по крайней мере в отношении доказательств существования, а результат о неподвижной точке был именно таким) и создал движение интуиционизма. Позднее эту программу поддержал Эррет Бишоп, и его работа Foundations of Constructive Analysis, написанная в 1967 г., была довольно заметной (переработанное издание, написанное в соавторстве с Дугласом Бриджесом, опубликовано в 1985 г.). Эти идеи представляют особенный интерес для специалистов в теории компьютерных наук, ведь значимость доказательств от противного в компьютерных науках небесспорна (несмотря даже на то, что в свое время Алан Тьюринг расшифровал код Энигмы, применив как раз идеи доказательства от противного в контексте вычислительных машин).

В последние тридцать лет или около того стало ясно, что мы переосмыслили и решительно расширили наше представление о доказательстве. В этом явлении важную динамичную роль сыграли компьютеры. Они могут делать сотни миллионов операций в секунду. Это открывает возможности для экспериментирования, вычисления и визуализации таких вещей, что были немыслимы полвека назад. Следует иметь в виду, что математическое мышление включает овладение понятиями и рассуждениями, в то время как компьютер — просто средство для манипулирования данными, это совершенно разные вещи. Непохоже (см. блестящую книгу Роджера Пенроуза «Новый ум короля»), что когда-либо компьютер сможет думать и доказывать математические теоремы так, как это делает человек. Тем не менее компьютер может предоставить ценную информацию и натолкнуть на идею. Он может изобразить для пользователя вещи, которые тот раньше представить себе не мог. Это ценный инструмент. В нашей книге мы уделим много места изучению роли компьютеров в современной человеческой мысли.