Читаем Избранные научные труды. Том 1 онлайн бесплатно
Избранные научные труды. Том 1
В первый том включены все основные работы Бора до 1925 г., т. е. до возникновения квантовой механики. Большинство статей тома посвящено первоначальной квантовой теории атома, прежде всего теории спектра атома водорода, теории периодической системы элементов, влиянию электрических и магнитных полей на спектральные линии, теории излучения.
Серия: Классики науки
Наука, Образование / ФизикаАКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
КЛАССИКИ НАУКИ
НИЛЬС БОР
ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ
В ДВУХ ТОМАХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
И. Е. ТАММА, В. А. ФОКА,
Б. Г. КУЗНЕЦОВА,
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1970
НИЛЬС БОР
ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ
I
СТАТЬИ
1909—1925
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1970
СЕРИЯ «КЛАССИКИ НАУКИ»
Серия основана академиком
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
академик
академик
член-корреспондент АН СССР
профессор
профессор
профессор
Составитель
2-3-2
236-70(I)
ОТ РЕДАКЦИИ
Научное наследие выдающегося датского учёного Нильса Бора содержит более ста статей по различным вопросам физики, однако собрания его сочинений ещё не издавались.
Настоящее двухтомное издание представляет собой первое собрание избранных научных трудов знаменитого учёного.
В первый том включены все основные работы Бора до 1925 г., т. е. до возникновения квантовой механики. Большинство статей тома посвящено первоначальной квантовой теории атома, прежде всего теории спектра атома водорода, теории периодической системы элементов, влиянию электрических и магнитных полей на спектральные линии, теории излучения.
Во второй том включены работы по квантовой механике, теории атомного ядра и другим разделам физики, а также статьи по общим вопросам естествознания.
Том снабжен краткими комментариями, составленным и У. И. Франкфуртом А. М. Френком. Примечания в тексте носят в основном библиографический характер.
Язык статей Бора весьма труден, перевод их сопряжён с большими сложностями. В переводах, как правило, использовались установившиеся современные термины; сохранено лишь небольшое число терминов, вышедших из употребления. Терминология статей, относящихся к различным периодам, сделана по возможности единообразной.
Переводы статей, включённых в первый том, выполнены И. В. Андреевым (статьи 3, 12, 25), С. И. Вавиловым (статьи 7, 14, 19), И. М. Дреминым (статьи 20—22), Т. С. Петелиной (статья 24), А. М. Френком (статьи 5, 6, 8—11, 15—18, 23, 26, 27) и В. Я. Френкелем (статьи 1, 2, 4, 13).
1909
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ВОДЫ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ СТРУИ *
*
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что при определении коэффициента поверхностного натяжения воды одной из наиболее важных и трудных проблем оказывается обеспечение достаточной чистоты поверхности; поэтому во всех подобных исследованиях этому вопросу уделяется большое внимание.
Однако в 1879 г. Рэлей 1 указал метод устранения этой трудности, оказавшийся совершеннее всех применявшихся ранее методов; этот метод обеспечивает возможность определения коэффициента поверхностного натяжения почти идеально чистой и непрерывно восстанавливаемой поверхности.
1 Rayleigh. Proc. Roy. Soc., 1879, XXIX, 71.
В упомянутой работе Рэлей разработал теорию колебаний струи жидкости под действием поверхностного натяжения; из этой теории следует, что поверхностное натяжение жидкости может быть определено, если известны скорость и сечение струи и длина возбуждаемых на поверхности струи волн. В дополнение к теоретическому рассмотрению Рэлей провёл также ряд экспериментов. Однако цель этих экспериментов состояла скорее в том, чтобы проиллюстрировать теорию, чем произвести точное измерение величины коэффициента поверхностного натяжения.
Если же поставить перед собой именно эту последнюю задачу, то возникает необходимость рассмотреть некоторые вопросы, не обсуждавшиеся в исследовании Рэлея, поскольку при этом нужно иметь уверенность, во-первых, в достаточной разработанности теории, а во-вторых, в том, что в изучаемом явлении с достаточной точностью выполняются предположения, положенные в основу теоретического рассмотрения.
В настоящей работе произведена попытка осуществления намеченной программы.
Несмотря на большие преимущества указанного метода определения поверхностного натяжения, он используется пока что не очень широко. Кроме Рэлея 1 до настоящего времени этот метод применяли лишь Ф. Пиккар 2 и Г. Мейер 3 для относительных измерений. К моменту завершения настоящей работы в печати появилась работа П. Педерсена 4 на эту тему.
1 Rayleigh. Ргос. Roy. Soc., 1890, XLVII, 281.
2 Piccard. Archives d. Sc. Phys. et Nat. (Genève), (3), 1890, XXIV, 561.
3 Meyer. Wied. Ann., 1898, LXVI, 523.
4 P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, 341.
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУИ
Теория колебаний цилиндрической струи жидкости около её равновесной формы развита Рэлеем для случая, когда амплитуда колебаний бесконечно мала и жидкость не обладает вязкостью.
Уравнения, полученные Рэлеем, могут рассматриваться как хорошее приближение в случае, когда амплитуда и коэффициент вязкости малы; однако, если эти уравнения используются для точного определения коэффициента поверхностного натяжения, существенно знать степень точности этого приближения в реальных условиях. Поэтому в первой части настоящего исследования мы попытаемся уточнить теорию путём внесения поправок, учитывающих конечность амплитуды и вязкость.
РАСЧЁТ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ
Под влиянием вязкости колебания струи будут затухать. Если задача заключается в отыскании закона убывания амплитуды, то при малом коэффициенте вязкости это можно приближённо сделать с помощью простого учёта рассеянной энергии. Некоторые авторы 5 считают, что связанные с учётом вязкости поправки к длине волны (или периоду колебаний) в подобном случае могут быть найдены прямо из логарифмического декремента затухания амплитуды волны δ с помощью формулы 𝑇1=𝑇(1+δ²/4π²)½, где 𝑇1 — период затухающих колебаний, а 𝑇 — период незатухающих колебаний. Однако использование такой формулы мне представляется неправильным. Дело в том, что эта формула получена для случая, когда единственное различие уравнений движения для консервативной системы (𝑎∂²𝑞/∂𝑡²+𝑐𝑞=0) и для неконсервативной системы (𝑎∂²𝑞/∂𝑡²+𝑏∂𝑞/∂𝑡+𝑐𝑞=0) связано с введением диссипативного члена; это справедливо для малых свободных колебаний тела с одной степенью свободы.
5 См.: P. O. Pedersen. Phil. Trans. Roy. Soc., 1907, A207, стр. 346, а также:
Ph. Lenard. Wied. Ann., 1887, XXX, стр. 239, где рассматривается измерение коэффициента поверхностного натяжения воды по методике колебаний капель.
В нашей же задаче коэффициент инерции 𝑎 не будет одинаковым для двух систем, так как в неконсервативной системе 𝑎 зависит от коэффициента вязкости (то же самое имеет место и во всех аналогичных проблемах гидродинамики, когда потенциал скорости существует для консервативной, но не существует для неконсервативной системы).
Из последующего будет видно, что в действительности поправки к длине волны пропорциональны не δ2, а δ3/2.
Чтобы найти изменение длины волны вследствие вязкости, следует рассмотреть вопрос более детально. Подобное исследование было проведено Рэлеем 1 для случая колебаний цилиндра вязкой жидкости под действием капиллярных сил при сохранении симметрии относительно оси цилиндра. Однако последнее условие (симметрия) в указанной работе с самого начала используется в такой форме, что проведенные расчёты нельзя применять к случаю колебаний более общего вида, о которых речь пойдёт ниже. Результаты нашего рассмотрения не охватывают частный случай, исследованный Рэлеем, поскольку для упрощения расчётов не принимались специальные меры предосторожности, обеспечивающие возможность перехода к пределу 𝑛=0.
1 Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145.
Общие уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости, свободной от действия внешних сил, имеют вид
μ∇²𝑢-ρ
𝐷𝑢
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑥
,
μ∇²𝑣-ρ
𝐷𝑣
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑦
,
μ∇²𝑤-ρ
𝐷𝑤
𝐷𝑡
=
∂𝑝
∂𝑧
,
(1)
∂𝑢
∂𝑥
+
∂𝑣
∂𝑦
+
∂𝑤
∂𝑧
=
0,
(2)
где 𝑢, 𝑣, 𝑤 — компоненты скорости, 𝑝 — давление, ρ — плотность, μ — коэффициент вязкости и
∇²
=
∂²
∂𝑥²
+
∂²
∂𝑦²
+
∂²
∂𝑧²
,
𝐷
𝐷𝑡
=
∂
∂𝑡
+𝑢
∂
∂𝑥
+𝑣
∂
∂𝑦
+𝑤
∂
∂𝑧
.
В рассматриваемой задаче движение является стационарным. Положим 𝑤=𝑐+ω. Считая, что 𝑢, 𝑣 и 𝑤 имеют вид ƒ(𝑥,𝑦)•𝑒𝑖𝑏𝑧 и достаточно малы, чтобы при расчётах можно было пренебречь их произведениями (и величинами того же порядка), из уравнений (1) получаем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑢
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑥
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑣
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑦
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
=
1
μ
∂𝑝
∂𝑧
.
(3)
Из уравнений (3) и (2) следует
∇²𝑝=0.
(4)
Полагая
𝑢
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑥
+
𝑢
1
,
𝑣
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑦
+
𝑣
1
,
ω
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑧
+
ω
1
,
(5)
получаем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑢
1
=0
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝑣
1
=0
,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
1
=0
,
(6)
и
∂𝑢1
∂𝑥
+
∂𝑣1
∂𝑦
+
∂ω1
∂𝑧
=0
.
(7)
Введём полярные координаты 𝑟 и θ (𝑥=𝑟 cos θ, 𝑦=𝑟 sin θ), а также радиальную и тангенциальную составляющие скорости α и β. С помощью соотношений
𝑡
=
α cos θ - β sin θ,
𝑢
=
α sin θ + β cos θ,
𝑡
1
=
α
1
cos θ - β
1
sin θ,
𝑢
1
=
α
1
sin θ + β
1
cos θ,
∂
∂𝑥
=
cos θ
∂
∂𝑟
-
sin θ
1
𝑟
∂
∂θ
,
∂
∂𝑦
=
sin θ
∂
∂𝑟
+
cos θ
1
𝑟
∂
∂θ
,
(8)
из равенств (5) получаем
α
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
∂𝑝
∂𝑟
+α
1
,
β
=
𝑖
𝑐𝑏ρ
1
𝑟
∂𝑝
∂θ
+β
1
;
(9)
из уравнений (6) и (7), имея в виду, что ∇²=∂²/∂𝑟² + (1/𝑟)∂/∂𝑟 + (1/𝑟²)∂²/∂θ² + ∂²/∂𝑧² находим
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
α
1
-
α1
𝑟²
-
2
𝑟²
∂β1
∂θ
=0,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
β
1
-
β1
𝑟²
-
2
𝑟²
∂α1
∂θ
=0
(10)
и
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
1
𝑟
∂β1
∂θ
+
∂ω1
∂𝑧
=0.
(11)
Полагая, что 𝑝, α, β, ω и соответственно α1, β1, ω1 имеют вид ƒ(𝑟)𝑒𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧, из уравнения (4) получаем
∇²𝑝
=
∂²𝑝
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂𝑝
∂𝑟
-
𝑝
⎧
⎪
⎩
𝑛²
𝑟²
+𝑏²
⎫
⎪
⎭
=0.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при 𝑟=0, имеет вид
𝑝=
𝐴𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(12)
где 𝐽𝑛 функция Бесселя 𝑛-го порядка. Из уравнений (6) имеем
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
ω
1
=
∂²ω2
∂𝑟²
+
1
𝑟
∂ω1
∂𝑟
-
ω
1
⎧
⎪
⎩
𝑚²
𝑟²
+
𝑑²
⎫
⎪
⎭
=0,
𝑑²
=
𝑎²
+
𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
,
(13)
откуда
ω
1
=
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(14)
Исключая β1 из уравнений (10) и (11), имеем
𝑟
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
α
1
+2
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
=-2
∂ω1
∂𝑧
,
откуда
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
(𝑟α
1
)
=-2
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
(15)
Поскольку, однако,
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
+2
∂²
∂𝑟²
+
2
𝑟
∂
∂𝑟
+
2
𝑟²
∂²
∂θ²
=
=
⎧
⎪
⎩
𝑟
∂
∂𝑟
+2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
-2
⎧
⎪
⎩
∂²
∂𝑧²
-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
,
это даёт
⎧
⎪
⎩
∇²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
𝑟
∂
∂𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
⎤
⎥
⎦
=
=2
⎧
⎪
⎩
𝑏²-𝑖𝑏
𝑐ρ
μ
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
=
2𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(16)
и из соотношений (15) и (16) следует, что
α
1
=
⎡
⎢
⎣
𝑏
𝑑
𝐵𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
(17)
а из (11) получаем
-
1
∂β
1
𝑟
∂θ
=
∂α1
∂𝑟
+
α1
𝑟
+
∂ω1
∂𝑧
=
=
⎧
⎨
⎩
𝐵
⎡
⎢
⎣
𝑖𝑏
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+
𝑖𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
+
𝐶
𝑖𝑏
1
𝑟
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎫
⎬
⎭
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(18)
С помощью соотношения
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
+
1
𝑥
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
+
⎧
⎪
⎩
1-
𝑛²
𝑥²
⎫
⎪
⎭
𝐽
𝑛
(𝑥)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
β
1
=
⎡
⎢
⎣
𝐵
𝑛𝑏
1
𝑑
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
-𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(20)
Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для 𝑝, α1, β1 и ω1, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем
α=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏
𝑑
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
1
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
β=
⎡
⎢
⎣
-𝐴
𝑛
1
𝑏𝑐ρ
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝑏𝑛
1
𝑑²
𝑟
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
+𝐶
𝑑
𝑛
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
,
𝑤=𝑐+ω=𝑐+
⎡
⎢
⎣
-𝐴
1
𝑒ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑏𝑟)
+𝐵
𝐽
𝑛
(𝑖𝑑𝑟)
⎤
⎥
⎦
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
𝑟-𝑎=ζ=𝐷
𝑒
𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
𝐷
𝐷𝑡
(𝑟-𝑎-ζ)
=
⎧
⎪
⎩
α
∂
∂𝑟
+
β
∂
𝑟
∂θ
+𝑤
∂
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
(𝑟-𝑎-ζ)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
𝑎-𝑐
∂ζ
∂𝑧
=0,
ζ=-
𝑖
𝑐𝑏
α.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через 𝑅1 и 𝑅2, получаем, далее, аналогичным образом
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
1
𝑎
-
ζ
𝑎²
-
1
∂²ζ
𝑎²
∂θ²
-
∂²ζ
∂𝑧
=
1
𝑎
-α
𝑖(𝑛²-1+𝑏²𝑎²)
𝑎²𝑐𝑏
.
(23)
Пусть 𝑃𝑟, 𝑃θ и 𝑃𝑧 — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось 𝑋 и используя общепринятые обозначения, имеем
𝑃
𝑟
=
𝑝
𝑥,𝑥
=
-𝑝
+2μ
∂𝑢
∂𝑥
,
𝑃
θ
=
𝑝
𝑥,𝑦
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑣
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑦
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
𝑝
𝑥,𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂𝑤
∂𝑥
+
∂𝑢
∂𝑧
⎫
⎪
⎭
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая θ=0, получаем
𝑃
𝑟
=
-𝑝
+2μ
∂α
∂𝑟
,
𝑃
θ
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂β
∂𝑟
+
1
∂α
𝑟
∂θ
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭
,
𝑃
𝑧
=
μ
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения 𝑇; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
𝑇
⎧
⎪
⎩
1
𝑅1
+
1
𝑅2
⎫
⎪
⎭
+
𝑃
𝑟
=const,
𝑃
θ
=0,
𝑃
𝑧
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
⎡
⎢
⎣
-𝑇α
𝑖(𝑚²-1+𝑎²𝑏²)
𝑎²𝑐𝑏
-𝑝+2μ
∂α
∂𝑟
⎤
⎥
⎦𝑟=𝑎
=0,
(26)
⎧
⎪
⎩
1
∂α
𝑟
∂θ
+
∂β
∂𝑟
-
β
𝑟
⎫
⎪
⎭𝑟=𝑎
=0,
⎧
⎪
⎩
∂α
∂𝑧
+
∂𝑤
∂𝑟
⎫
⎪
⎭𝑟=𝑎
=0.
(27)
Подставляя в эти условия значения 𝑝, α, β и 𝑤, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая 𝐵/𝐴 и 𝐶/𝐴, получаем уравнения для определения 𝑏. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.
В экспериментах численное значение величины | 𝑖𝑎𝑏 | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | 𝑖𝑎𝑑 |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | 𝑖𝑎𝑏 | < 0,24 и | 𝑖𝑎𝑑 | > 20.)
При всех значениях 𝑥 справедливо разложение
𝐽
𝑛
(𝑥)
=
𝑥𝑛
2𝑛⋅𝑛!
-
𝑥𝑛+2
2𝑛+2⋅1!(𝑛+1)!
+
𝑥𝑛+4
2𝑛+4⋅2!(𝑛+2)!
-…
(28)
Ряд (28) быстро сходится при малых 𝑥, но очень медленно — при больших 𝑥. Из разложения (28) следует
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
=
𝑛
𝑥
𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑥2
2𝑛(𝑛+1)
-
𝑥4
23⋅𝑛(𝑛+1)2(𝑛+2)
-…
⎤
⎥
⎦
и далее с помощью (19)
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
=
𝑛(𝑛-1)
𝑥²
𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1-
𝑥²(2𝑛+1)
2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)
+
𝑥4
23(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)2(𝑛+2)
…
⎤
⎥
⎦
.
Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения 𝑏, мы будем полагать
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
=-
𝑖𝑛
𝑎𝑏
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
и
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
=-
𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑏²
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²(2𝑛+1)
2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
.
(29)
Для вычисления 𝐽𝑛(𝑥) при больших значениях 𝑥 мы воспользуемся асимптотическим выражением
𝐽
𝑛
(𝑥)
∼
(2π𝑥)
-½
⎧
⎨
⎩
[
𝑃
𝑛
(𝑥)
+
𝑖𝑄
𝑛
(𝑥)
]
exp 𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑥-
2𝑛+1
4
π
⎫
⎪
⎭
[
𝑃
𝑛
(𝑥)
-
𝑖𝑄
𝑛
(𝑥)
]
exp -𝑖
⎧
⎪
⎩
𝑥-
2𝑛+1
4
π
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
(30)
где
𝑃
𝑛
(𝑥)
=
1-
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)
2!(8𝑥)²
+
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)(4𝑛²-7²)
4!(8𝑥)4
-…
и
𝑄
𝑛
(𝑥)
=
4𝑛²-1²
1!8𝑥
-
(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)
3!(8𝑥)3
+…
Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части 𝑥, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для 𝐽𝑛(𝑥) при больших 𝑥. При использовании формулы (30) 𝑥 можно записать в виде 𝑎-𝑖𝑏, где 𝑎 и 𝑏 — большие положительные числа. При этом член с 𝑒𝑖𝑥 будет преобладающим; пренебрегая членом с 𝑒-𝑖𝑥, имеем
𝐽
'
𝑛
(𝑥)
=
𝑖𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑖
2𝑥
-
4𝑛²-1
8𝑥²
+
𝑖(4𝑛²-1)
8𝑥³
-…
⎤
⎥
⎦
и, согласно (19),
𝐽
''
𝑛
(𝑥)
=
-𝐽
𝑛
(𝑥)
⎡
⎢
⎣
1+
𝑖
𝑥
-
2𝑛²-1
2𝑥²
-
𝑖(4𝑛²-1)
8𝑥³
-…
⎤
⎥
⎦
.
Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим
𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
=
𝑖𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
⎧
⎪
⎩
1+
1
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑
⎫
⎪
⎭
и
𝐽
''
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
=
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
⎧
⎪
⎩
1+
1
𝑎𝑑
+
2𝑛²+1
2𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
(31)
Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑏
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2(𝑛-1)(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
2𝑛𝑏
𝑎𝑑
⎧
⎪
⎩
1+
3
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
-
-
𝐶
𝑛
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑖𝑑²
𝑛
⎧
⎪
⎩
1+
2
𝑎𝑑
+
2𝑛²+1
𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
=0
(32)
и
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛
𝑎
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
+
+
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑑
⎧
⎪
⎩
1+
1
2𝑎𝑑
+
4𝑛²-1
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
-
𝐶𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
𝑖𝑏
𝑎
=0.
(33)
Из соотношений (32) и (33) находим
𝐵𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
≈
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
2𝑛
𝑎𝑑
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2𝑛(𝑛+1)
⎤
⎥
⎦
⎧
⎪
⎩
1-
1
2𝑎𝑑
-
12𝑛²-8𝑛-3
8𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
и
𝐶𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑑)
≈
𝐴
1
𝑐ρ
𝐽
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
𝑖2𝑛²(𝑛-1)
𝑎²𝑑²𝑏
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
2(𝑛²-1)
⎤
⎥
⎦
⎧
⎪
⎩
1-
2
𝑎𝑑
-
2𝑛²-3
𝑎²𝑑²
⎫
⎪
⎭
.
(34)
Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт
𝑏²-𝑖𝑏
μ
ρ
⋅
4𝑛(𝑛-1)
𝑎²𝑐
⎡
⎢
⎣
1+
𝑎²𝑏²
𝑛(𝑛-1)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1+
𝑛-1
𝑎𝑑
+
(𝑛-1)(2𝑛-3)
2𝑎²𝑑²
⎤
⎥
⎦
-
-𝑇
𝑖𝑏𝑎 𝐽
'
𝑛
(𝑖𝑎𝑏)
𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽
𝑛 (𝑖𝑎𝑏)
(𝑛²-1+𝑎²𝑏²)=0.
(35)
