Читаем Тесты и их решения по финансовой математике онлайн бесплатно

В настоящий момент времени открыты 2 счета «Фонд А» и «Фонд В» для перечисления на них взносов. На каждый из счетов начисляются простые проценты по годовой ставке .

В Фонд А будет перечислен только один взнос в размере 8200 через 3.25 года с настоящего момента времени.

В Фонд В будет перечислено три взноса. Первый взнос в размере 2400 будет перечислен через 1 год с настоящего момента времени. Второй взнос в размере 2700 будет перечислен через 3.5 года с настоящего момента времени. Третий взнос в размере 3000 будет перечислен через 4 года с настоящего момента времени. В конце 4 – летнего периода (сразу после третьего взноса в Фонд В), на обоих счетах будут накоплены одинаковые суммы.

Найдите значение .

A. Меньше 4.0%

B.4.0 %, но меньше4.5%

C. 4.5 %, но меньше 5.0%

D. 5.0 %, но меньше 5.5%

E. 5.5 % или больше

Решение.

Фонд А

Фонд В

Приравнивая накопленные суммы в фондах А и В, имеем

Отсюда .

Годовая ставка процентов равна 12 %. Необходимо найти эквивалентную номинальную ставку дисконта, начисляемого 9 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится эта ставка?

A. меньше 10.90%

B. 10.90 %, но меньше11.30%

C. 11.30 %, но меньше 11.70%

D. 11.70 %, но меньше 12.10%

E. 12.10 % или больше

Решение.

Пусть – эффективная годовая ставка процента, – эффективная годовая ставка дисконта, – номинальная ставка процента, -номинальная ставка дисконта, начисляемые m раз в год, тогда справедливы формулы (cм. (1.21) из [1])

(1.1)

для всех положительных целых значений m и n.

Пользуясь этими формулами, получим

, следовательно , откуда мы находим .

Решение на калкуляторе.

1-шаг (): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=); ^(C/Y=) 9 ENTER; ^(EFF=) 12 ENTER; ^ (NOM=); CPT: NOM = 11.4045 %;

Теперь пользуясь формулой справедливой для эффективных ставок(cм. (1.16) из [1])

, т.е. (1.2)

имеем

2-шаг (расчет ): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=12 %; Кол_пер=9)= 11.4045 %;

2-шаг (расчет ): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Банк предлагает ипотечную ссуду по ставке 14 % годовых, начисляемых 12 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится разность между и ?

A. Меньше (-0.7)%

B.(-0.7)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.1%

D. 0.1 %, но меньше 0.5%

E. 0.5 % или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Следовательно, учитывая, что получим

, .

Тем самым,

Решение на калкуляторе.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ^(C/Y=) 12 ENTER; ^(EFF=) CPT: EFF = 14.934;

V (C/Y=) 4 ENTER; V (NOM=) CPT: NOM=14.164 14.164/4 =3.541 %;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 3.541 %=13.68 %;

3-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ^(C/Y=) 12 ENTER; ^(EFF=) CPT: EFF = 14.934 %;

V (C/Y=) 9 ENTER; V (NOM=) CPT: NOM=14.027 % ;

4-шаг (расчет ): (переход -14.027 %); +13.68=-0.35.

Решение на компьютере.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=14 %; Кол_пер=12)= 14.934 %;

2-шаг (): V НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=4)= 14.164 % 14.164 %/4 =3.541 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 14.164 % / (3.541 % +1)=13.68 %;

4-шаг ( ): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=9)= 14.027 %; 5-шаг (расчет ): 13.68 %-14.027 %=-0.35.

Фонд Х имеет номинальную ставку процента 11 % годовых, начисляемых ежеквартально. Фонд У имеет номинальную ставку дисконта 10 % годовых, начисляемых каждые полгода.

В каком из следующих интервалов находится разность между интенсивностями процентов для этих фондов?

A. Меньше (-1)%

B. (-1)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.4%

D.0.4 %, но меньше 1.1%

E. 1.1 % или больше

Решение.

По условию и .

Интенсивность процента определяется следующим образом (см. (1.24) из [1])

= ln(1 +i). (1.3)

Отсюда, в силу (1.1) для интенсивности процентов для фондов X и Y соответственно, получим

Следовательно

Решениенакалкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=) 11 ENTER; ^(C/Y=) 4 ENTER; ^(EFF=) CPT: EFF = 11.462;

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; ; *100=10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет ): 0.1/2=;; +1=; ; ; ; 10.26 %;

4-шаг (расчет):; +10.85=0.59 %;

Решение на компьютере.

1-шаг (): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=11 %; Кол_пер=4)= 11.462 %;

2-шаг (расчет ): =10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет ): 10.26 %;

4-шаг (расчет):10.85 %-10.26 %=0.59 %.

Найдите число n , такое, что

В каком из следующих интервалов находится n ?

A. Меньше 2

B.2, но меньше3

C. 3, но меньше 4

D. 4, но меньше 5

E. 5 или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Тем самым

Пусть . Найти .

A.

B.

C.

D.

E.

Решение.

Пользуясь формулой (1.32) из [1] легко убедиться, что (положим )

.

Cумма 500 единиц возрастает до 570 через 9 месяцев в случае начисления простых процентов.

В каком из следующих интервалов находится ?

A. меньше 13.50%

B. 13.50 %, но меньше 15.50%

C.15.50 %, но меньше17.50%

D. 17.50 %, но меньше 19.50%

E. 19.50 % или больше

Решение.

Накопленная сумма 500 единиц через 9 месяцев в случае начисления простых процентов будет равна

Следовательно

.

Поэтому из (1.1) следует, что

.

Решение на калкуляторе.

1-шаг: Cначала как выше посчитаем .

2-шаг(расчет ): 2^nd ICONV; 2^nd CLR WORK; (NOM=); ^(C/Y=) 3 ENTER; ^(EFF=) 18.667 ENTER; ^(NOM=); CPT: NOM = 17.6127;

/3 =5.8709;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 17.6127 %=16.64 %.

Решение на компьютере.

1-шаг ():НОМИНАЛ(Факт_ ставка=18.667 %; Кол_пер=3)= 17.6127 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 17.6127 %/ (17.6127 %/3+1)=16.64 %.

Алма и Жанна пожертвуют университету деньги. Алма произведет 3 платежа в размере 3200 каждый. Первый платеж будет сделан 1 января 1998 года, а остальные – 1 января в каждый из последующих двух лет. Жанна произведет только один платеж в размере 9800. Если эффективная процентная ставка составляет 2 % в месяц, а текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года равны, то в каком из перечисленных месяцев Жанна произведет свой платеж?

A. Июль 1998 года

B. Август 1998 года

C. Сентябрь 1998 года

D.Январь 1999 года

E. Декабрь 1998 года

Решение.

По условию . Сначала пользуясь соотношением (1.1) определим эффективную годовую процентную ставку

Теперь предполагая, что платеж 9800 будет произведен Жанной в момент времени t и приравнивая текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года имеем

.

т. е. получим диаграмму

Решая это уравнение относительно ежемесячного периода t, находим

Итак, платеж 9800 будет произведен Жанной через 12.1 месяцев, начиная с 1 января 1998 года, т.е. в январе 1999 года.

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=) 24 ENTER; ^(C/Y=) 12 ENTER; ^(EFF=) CPT: EFF = 26.824;

2-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; 2nd P/Y 1 ENTER; 2nd BGN 2nd SET;2nd QUIT;

3 N; 26.824 I/Y; 3200 PMT; 0 FV; CPT PV: PV= -7712.69;

3-шаг (расчет t): 2 I/Y; 0 PMT; 9800 FV; CPT N: N=12.1.

Решение на компьютере.

1-шаг (): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=24 %; Кол_пер=12)= 26.824 %;

2-шаг (расчет ): ПС(Ставка=26.824 %; Кпер=3; ПЛТ=3200; Бс= 0; Тип=1)= -7712.69;

3-шаг (расчет t): КПЕР(Ставка=2; ПЛТ =0; Пс=-7712,69; Бс= 9800; Тип=1)= 12.10.

В конце каждого года в период с 1996 года по 2000 год включительно Джон платит Генри 600. Он также платит Генри 400 в конце каждого года в период с 1998 года по 2001 год включительно. Предположив, что , найдите стоимость этих выплат на 1 января 1995 года.

A. Меньше 1 600

B. 1 600, но меньше 1 800

C. 1 800, но меньше 2 000

D.2000, но меньше 2 200

E. 2 200 или больше

Решение.

Текущая стоимость этих выплат на 1 января 1995 года будет равна

Решение на калкуляторе.

Заметим, что рассматривая финансовый поток

и пользуясь функцией расчета «CF» можно посчитать текущую стоимость данного финансового потока

1-шаг (расчет PV): 2nd RESET ENTER;

CF; CF0= 0;

V; 1 ENTER: C01 = 0;

V; 1 ENTER: F01 = 1;

V; 600 ENTER: C02 = 600;

V; 2 ENTER: F02 = 2;

V; 1000 ENTER: C03 = 1000;

V; 3 ENTER: F03 = 3;

V; 400 ENTER: C04 = 400;

V; 1 ENTER: F04 = 1;

NPV; 20 ENTER: I = 20;

V; CPT: NPV=2094.55

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет i): ЧПС(20 %; 0; 600; 600; 1000; 1000; 1000; 400)= 2094.55.

Человек занял 10 000 и может выбрать между двумя схемами погашения А и B. Выплаты в конце года.

Внутренняя ставка процента в схеме А превышает ставку в схеме В на:

A. Меньше (-4)%

B.(-4)%, но меньше (-2)%

C. (-2)%, но меньше 0%

D. 0 %, но меньше 2%

E. 2 % или больше

Решение.

Определяя текущие стоимости финансовых потоков для схем погашения А и B и приравнивая их сумме долга, соответственно, получим

Как видим, нам надо решать уравнения 6-й степени относительно . Решения таких уравнений мы здесь даем с помощью калькулятора и компьютера.

Решение на калькуляторе.

Пользуясь функцией расчета «Внутренняя ставка доходности (IRR)» для каждого финансового потока получим

1-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; CF;

10000 +/– ENTER: CF0= -10000;

V; 3500 ENTER: C01 = 3500;

V; 1 ENTER: F01 = 1;

V; 2500 ENTER: C02 = 2500;

V; 1 ENTER: F02 = 1;

V; 4000 ENTER: C03 = 4000;

V; 1 ENTER: F03 = 1;

V; 0 ENTER: C04 = 0;

V; 1 ENTER: F04 = 1;

V; 4000 ENTER: C05 = 4000;

V; 2 ENTER: F05 = 2;

IRR; CPT: IRR= 19.65 %;

2-шаг (расчет ): 2nd RESET ENTER; CF;

10000 +/– ENTER: CF0= -10000;

V; 4000 ENTER: C01 = 4000;

V; 1 ENTER: F01 = 1;

V; 3800 ENTER: C02 = 3800;

V; 1 ENTER: F02 = 1;

V; 3000 ENTER: C03 = 3000;

V; 1 ENTER: F03 = 1;

V; 2500 ENTER: C04 = 2500;

V; 3 ENTER: F04 = 3;

IRR; CPT: IRR= 23.37 %;

3-шаг (расчет ): 19.65 % 23.37 %=-3.71 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (расчет ): ВСД(-10000; 3500; 2500; 4000; 0; 4000; 4000)= 19.65 %;

2-шаг (расчет ): ВСД(-10000; 4000; 3800; 3000; 2500; 2500; 2500)= 23.37 %;

3-шаг (расчет ): 19.65 % 23.37 %=-3.71 %.

В каком интервале находится взвешенная по времени ставка доходности за 1989 год ?

A. меньше 1%

B. 1 %, но меньше 2%

C.2%, но меньше 3%

D. 3 %, но меньше 4%

E. 4 % или больше

Решение.

Здесь и далее количество 1000 единиц будем выделять с помощью запятых, т.е., например, 10000=10,0.

Напоминаем, что, если функция накоплений А(t), то ставка доходности в n-ом промежутке определяем следующим образом:

. (2.1)

Чтобы определить взвешенную по времени ставку инвестиционной доходности фонда в течение 1989 года, сначала надо определить ставки доходности для каждого промежутка, где известны начальная и конечная стоимости (балансы) фонда, непосредственно предшествующие депозиту или снятию денег. По условию задачи таких промежутков четыре.

Итак, в силу (2.1) ставка доходности с 1 января по 1 апреля 1989 г. определяется уравнением ,

т. к. сразу же после выплаты 31 марта 10000 стоимость портфеля 1 апреля составляет 215000.

С учетом полученного взноса 30 июня 75000 ставка доходности с 1 апреля по 1 июля составляет

Ставка доходности с 1 июля по 1 октября составляет

Наконец, ставка доходности с 1 октября по 31 декабря 1989 года равна

.

Взвешенная по времени доходность за год находится из факторов накопления, соответствующих каждому интервалу, как

(2.2)

т. е. =1,125*0.9349*1,0435*0.9375 – 1 = 2.89 %.

(а)=взвешенная по времени ставка инвестиционной доходности фонда в течение 1989 года;

(в)=взвешенная по величине годовая ставка инвестиционной доходности фонда в случае использования простых процентов;

(с)=ставка инвестиционной доходности фонда в случае использования простых процентов и равномерного распределения в течение года всех депозитов и снятий денег.

A. (а)>(в)>(c)

B. (а)>(c)>(в)

С. (с)>(а)>(в)

D.(с)>(в)>(а)

Е. ни один из указанных вариантов

Решение.

Пользуясь (2.1), определим ставки доходности для каждого из 3-х промежутков, соответственно

=1.15,

,

,

Следовательно, в силу (2.2) взвешенная по времени доходность за год будет равна

(в) Выведя уравнение стоимости путем сложения всех величин на момент 31 декабря 1989 года, рассчитаем взвешенную по величине доходность фонда в случае использования простых процентов, рассматривая только депозиты и снятия денег и не принимая во внимание промежуточные балансы

.

Поскольку это уравнение является линейным по i, то легко получить результат

100+100,

111.25 .

(с) Для определения ставку инвестиционной доходности фонда в случае использования простых процентов и равномерного распределения в течение года всех депозитов и снятий денег, предположим, что все депозиты и снятий денег будут происходит в середине года. Тогда выведя уравнение стоимости путем сложения всех величин на момент 31 декабря 1989 года, имеем

100000(1+

100+100,

94.5

т. е.

Сравнивая полученные ставки доходности, получим ответ: (с)>(в)>(а).

В каком интервале находится взвешенная по времени ставка доходности за 1989 год ?

A. меньше 6.90%

B. 6.90 %, но меньше 7.30%

C. 7.30 %, но меньше 7.70%

D. 7.70 %, но меньше 8.10%

E.8.10 % или больше

Решение.

Пользуясь (2.1), определим ставки доходности для каждого из 4-х промежутков, соответственно

=1.067,

,

,

.

Следовательно, взвешенная по времени доходность за год находится из факторов накопления, соответствующих каждому интервалу, как

т. е. i=8.2 %.

Рассмотрим следующие данные:

Разовый депозит в фонд: 1000 внесено 1/1/92. Снятия денег из фонда не было.

Процентная ставка в 1992-1993 г.г.: 7 % в год, начисляемых ежемесячно.

Ставка дисконта в 1994-1997 г.г.: 5 % в год , начисляемых ежеквартально.

Интенсивность процента в течение 1998-2002 г.г.: 3 % в год.

Выборочное значение: e =2.71828.

В каком интервале находится величина фонда на 1/1/2003?

A. Меньше 1500

B. 1500, но меньше 1600

C.1600, но меньше 1700

D. 1700, но меньше 1800

E. 1800 или больше

Решение.

Пусть – эффективная годовая процентная ставка за 1992-1993 г.г., за 1994-1997 г.г., за 1998-2002 г.г. Тогда в силу (1.1) накопленная сумма от первоначальной суммы депозита равна

=

=

=

Если , то в каком интервале находится ?

A. Меньше 10.95%

B.10.95 %, но меньше 11.45%

C. 11.45 %, но меньше 11.95%

D. 11.95 %, но меньше 12.45%

E. 12.45 % или больше

Решение.

В силу (1.1)

.