Читаем Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике онлайн бесплатно

Еще в древние времена математику и экономику объединиться заставила необходимость в счете, важная для выживания. Людям той далекой эпохи требовалось подсчитывать, сколько пищи нужно для семьи или клана, а когда запасов оказывалось больше, чем необходимо для выживания, требовалось правильно подсчитать излишки, чтобы затем обменять их у соседних племен на другие товары. Сложность расчетов с самого начала была связана с доступными средствами для вычислений: изначально счет велся парами, затем — при помощи пальцев руки, позднее для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления были придуманы цифры и алгоритмы письменных расчетов. Развитие счета подтолкнула торговля, которая с течением времени также менялась и совершенствовалась.

В первой главе этой книги рассказывается о том, какой путь прошла торговля за века своего существования, о системах счисления и об алгоритмах вычислений, о том, какой вклад в их развитие сделали древние египтяне и римляне, индийцы, майя, а также арабы и европейцы в Средневековье, и, наконец, о развитии коммерции и появлении двойной бухгалтерской записи в эпоху Возрождения. Появление государства в его современном виде потребовало стандартизировать систему мер и весов, а необходимость собирать налоги и развивать систему здравоохранения привела к созданию демографических таблиц и появлению статистики. В это же время мир узнал и первые вычислительные машины — так, «Паскалина», созданная французским ученым Блезом Паскалем, стала прообразом современных компьютеров.

Во второй главе рассматривается история денег, неразрывно связанная с развитием и усложнением коммерции: на смену металлическим монетам пришли бумажные деньги и банковские билеты, а золотой стандарт сменился валютным. Сегодня каждая страна имеет национальную валюту, конвертируемую в валюты других стран, и валютный паритет зависит в том числе от изменения цен внутри страны, то есть от инфляции. Для ее оценки правительства разрабатывают индексы цен, а для контроля инфляции они проводят в жизнь монетарную политику. Одним из инструментов контроля инфляции является изменение ставки рефинансирования, от которой зависит размер процентов по кредитам, полученным банками от центрального банка страны.

В третьей главе с математической точки зрения рассматриваются наиболее распространенные банковские операции — кредитование, ипотека, реструктуризация кредитов, а также рассказывается о роли статистики в экономическом анализе.

Четвертая глава в основном посвящена промышленному производству, доходности и оценке отдачи от инвестиций. В следующей главе анализируется структура и поведение рынка, спрос и предложение, а также роль рынка в формировании цен.

В шестой главе изучаются принципы работы биржи, графические и математические инструменты анализа и прогнозирования котировок ценных бумаг. Наконец, последняя глава знакомит читателя с развитием системы национальных счетов, взаимосвязью между макроэкономическими параметрами и производственными секторами, рассказывает об экономических циклах, распределении доходов и индикаторах уровня развития.

Эта книга посвящена использованию математики в экономике и роли точных наук в экономическом развитии. Со времен Возрождения, когда математик Лука Пачоли изобрел двойную бухгалтерскую запись, и до сего дня математика как инструмент экономического анализа позволила придать экономическим постулатам более строгую форму и тем самым сделать полученные выводы надежнее.

В издании объясняются основные математические инструменты, используемые для экономического анализа: базовые понятия счисления, переменных, функций, трендов и производных, кривых, уравнений, последовательностей, прогрессий, корреляции, регрессии и т. д. С их помощью легче понять происходящее в экономической сфере и сформулировать правила, важные при принятии решений об инвестировании, размещении сбережений и кредитовании.

Деньги, инфляция, банки, финансовая система — в основе всех этих экономических понятий лежат математические инструменты, а финансовая математика используется при расчете выплат по кредитам и определении рентабельности инвестиций.

Авторы говорят о производстве и рынке, спросе и предложении, международной торговле, ценообразовании, рынке капитала, фондовых биржах и экономическом росте, и этот разговор немыслим без строгой красоты математики.

Человечество использовало числа с первых дней своей истории. Даже в языке некоторых австралийских и африканских племен, сохранивших первобытный образ жизни, существуют слова для обозначения чисел от одного до пяти, а для всех чисел больше пяти используется слово «много». Каждая культура создает присущие только ей способы выражения мыслей (цифры и буквы, слова и числа), согласно своему образу жизни, и возможно, что современным первобытным племенам просто не нужно говорить о величинах больше пяти. Сегодня эти племена живут так, словно и не прошло нескольких тысяч лет цивилизационного развития, и точно так же выполняют расчеты.

Для обозначения чисел люди используют слова и цифры: в устной речи числовые величины выражаются с помощью слов, а на письме для обозначения чисел и операций с ними применяются цифры. В начале своей истории люди охотились, занимались собирательством и жили там, где в изобилии водилась дичь и росли плоды. Когда по какой-то причине источники пропитания иссякали, племя переселялось в другое место.

В этот период числа были практически не нужны, и длился он намного больше, чем вся последующая, «цифровая» эпоха.

Пытаясь получить постоянные источники пищи, люди постепенно начали одомашнивать животных, а позже — обрабатывать землю. Произошло это приблизительно 11000 лет назад, и в то время население Земли составляло около 8 миллионов человек. С этого момента числа начали использоваться чаще, и возникали ситуации, когда нужно было подсчитать, записать и выразить словами относительно большие величины. Скотовод должен был рассказать другим членам общины, сколько у него овец и сколько их было в прошлом году. Людям нужно было знать количество дней в году, чтобы определять, когда домашние животные дадут приплод, когда нужно сеять и собирать урожай. С течением времени потребовались подсчеты, сколько дани следует платить жрецам, а сами жрецы должны были записывать, кто заплатил дань, а кто — нет. В этих и многих других ситуациях необходимо было как-то выражать и записывать числовые величины.

Чтобы упростить запись, человек изобрел специальные знаки — цифры. В западной цивилизации сегодня используется десять цифр — всем известные 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 И 9.

А как подсчитывали овец доисторические пастухи? К примеру, собрав животных в стадо, его разбивали на десятки, затем — на сотни (десять групп по десять), затем — на тысячи (десять групп по сто) и так подсчитывали количество. Основанием этих групп было число десять, поэтому мы говорим, что 10 является основанием системы счисления. Однако так действовали не все пастухи — у каждого народа была собственная система счисления, но все они имели одну общую черту: основание системы счисления неизменно делилось на пять. Так, в разных цивилизациях использовались системы счисления по основанию 5,10, 20 и 60.

Число 5 появилось, когда первобытный человек начал считать, используя пальцы рук, — точно так же, как это делают современные дети. Некоторые народы, например майя, считали на пальцах рук и ног, поэтому они использовали систему счисления по основанию 20.

Шумеры, египтяне, индийцы, китайцы и майя первыми упорядочили числа и стали использовать системы счисления. Шумеры, жившие на Ближнем Востоке, на территории современного Ирака, около 4000 года до н. э., выполняли сложные арифметические операции и геометрические расчеты, изучая положение звезд на небосводе.

Благодаря их расчетам появился первый календарь. Основанием системы счисления шумеров было число 60, а значения цифр зависели от их положения в записи: одними и теми же знаками обозначались единицы, десятки, группы по 20 и группы по 60.

Такая система счисления называется позиционной.

Шумеры писали палочками из заостренного тростника на глиняных табличках, затем обжигали их в печах, и в пустынях Ирака археологи нашли тысячи табличек с математическими расчетами.

Шумерская глиняная табличка, найденная в районе города Ур, на которой записаны площади земельных участков в городе Умма.

Элементы шумерской системы счисления сохранились до сих пор — они используются при измерении углов и времени. Так, час равен 60 минутам, минута — 60 секундам. Угол в один градус (речь идет о шестидесятеричных градусах, которые на калькуляторах обозначаются символами DEG) делится на 60 частей — минут (60'), каждая из которых делится на 60 секунд (60").

Древние египтяне писали на папирусе, изготовленном из стеблей растения, росшего в долине Нила. Египетские жрецы — ученые той эпохи — сделали множество открытий, связанных с числами. Например, чтобы определить, чему равна третья часть выращенной на поле пшеницы, которую нужно уплатить в качестве дани, или чтобы подсчитать, на сколько частей можно разделить испеченный хлеб, жрецы изобрели дробные числа, или дроби. В 1858 году шотландский египтолог Александер Генри Райнд купил старый папирус, на котором были записаны задачи о дробях и задачи по геометрии. По сути папирус Райн да — первый известный нам учебник математики: он был написан примерно в 1700 году до н. э., и благодаря ему мы можем оценить уровень развития науки в Древнем Египте.

Фрагмент так называемого папируса Райнда — библии египетских математиков.

Папирус имеет 33 сантиметра в ширину и более 5 метров в длину.

Китайцы, в свою очередь, записывали числа не в строки, а в столбцы. Они делили числа на «мужские» и «женские» (нечетные и четные соответственно). Одним из достижений китайских математиков является определение положительных и отрицательных чисел. В Китае в качестве цифр использовались иероглифы, то есть каждый иероглиф, кроме обычного, имел и числовое значение, и это вызывало немало трудностей. Кроме того, китайцы считали, что слова имеют магический смысл, зависящий от того, какое число они обозначают, и приписывали иероглифам всевозможные сверхъестественные свойства.

Майя, жившие в Центральной Америке за много лет до прибытия туда Колумба, также записывали числа в столбцы, а не в строки. Они использовали календарь, в котором месяц состоял из 20 дней, год — из 360 дней, и позиционную систему счисления по основанию 20, а их знаки для обозначения числовых величин были весьма похожи на китайские и индийские.

Майя и их предшественники, ольмеки, совершили множество открытий в математике и астрономии и примерно в 36 году до н. э. дали определение такому понятию, как ноль, или «ничто» (именно этим годом датировано первое письменное упоминание этого числа). Но поскольку 0 в системе счисления майя не мог использоваться в арифметических операциях, это помешало дальнейшему развитию вычислений.

Китайская система счисления: 8 раз по 10 = 80.

Греческая система счисления: (3 + 5) раз по 10 = 8 раз по 10 = 80.

Система счисления майя: 4 раза по 20 = 80.

Египетская система счисления: 8 раз по 10 = 80.

Римская система счисления: 50 + 10 + 10 + 10 = 80.

Система счисления шумеров: 60 + 10+10 = 80.

Одно и то же число, представленное в шести разных системах счисления.

Самыми умелыми математиками древнего мира были индийцы. В своих арифметических расчетах они использовали огромные величины и решали задачи, требующие невероятного воображения (в одной из них, например, упоминаются 1024 дерущиеся обезьяны).

VI веком н. э. датируются два великих открытия индийских математиков: они стали присваивать цифрам разные значения в зависимости от их позиции в записи (одна и та же цифра в зависимости от позиции обозначала единицы, десятки, сотни или тысячи) и начали обозначать особым знаком, 0, число элементов пустого множества (индийцы называли это число «шунья», арабы — «сефир»). Вначале 0 обозначался просто точкой, потом — точкой, расположенной внутри круга, а затем на смену этим обозначениям пришел круг.

Греки, подобно китайцам, использовали в качестве цифр буквы, однако их система счисления не была позиционной, что усложняло запись чисел и развитие алгоритмов вычислений. По этой причине древние греки не очень преуспели в науке о числах — арифметике, однако добились огромных успехов в геометрии.

Аристотель (384–322 годы до н. э.) понимал слово «экономия» как управление домашним хозяйством, а науку, которую мы сегодня называем экономикой, называл по-гречески хрематистикой. Он не занимался подробным анализом экономических вопросов и не изучал взаимосвязь между переменными, однако рассмотрел такие понятия, как стоимость, деньги и проценты.

Аристотель рассматривал экономику прежде всего с точки зрения этики и первым выделил различные методы управления предприятием и домашним хозяйством.