Читаем Квантовая механика и интегралы по траекториям онлайн бесплатно

QUANTUM MECHANICS

AND

PATH INTEGRALS

by

R. P. FEYNMAN

Tolman Professor of Physics

California Institute of Technology

A. R. HIBBS

Jet Propulsion Laboratory

California Institute of Technology

McGRAW-HILL BOOK COMPANY

NEW YORK 1965

Р. Фейнман, А. Хибс

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

И ИНТЕГРАЛЫ

ПО ТРАЕКТОРИЯМ

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО

Э. М. Барлита и Ю. Л. Обухова

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

В. С. Барашенкова

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» • МОСКВА 1968

УДК 530.145

Оригинальный курс квантовой механики, написанный на основе лекций известного американского физика, лауреата Нобелевской премии Р. П. Фейнмана. От всех существующих изложений данная книга отличается как исходными посылками, так и математическим аппаратом: в качестве отправного пункта принимается не уравнение Шрёдингера для волновой функции, а представление о бесконечномерном интегрировании по траекториям. Это позволяет наглядным и естественным образом связать квантовое и классическое описания движения. Формализм новой теории подробно развит и проиллюстрирован на примере ряда традиционных квантовых задач (гармонический осциллятор, движение частицы в электромагнитном поле и др.).

Книга представляет интерес для широкого круга физиков — научных работников, инженеров, лекторов, преподавателей, аспирантов. Она может служить дополнительным пособием по курсу квантовой механики для студентов физических специальностей.

Редакция литературы по физике

Инд. 2-3-2

Предсловие редактора перевода

В распоряжении советского читателя имеется сейчас не менее десятка хороших и обстоятельных изложений основ квантовой механики (см., например, [1—7] и др.). Поэтому, казалось бы, нет необходимости в переводе и издании ещё одной книги на эту тему. Однако предлагаемый вниманию читателя курс квантовой механики Фейнмана и Хибса совершенно не похож на ранее изданные труды других авторов.

Независимо от того, какой точки зрения придерживается тот или иной автор в интерпретации квантовой механики: стоит ли он на позициях копенгагенской школы, придерживается теории ансамблей или же предпочитает какую-то другую точку зрения,— в основу изложения всегда кладётся понятие волновой функции. Такой подход является традиционным, но далеко не наилучшим: резкий переход от привычной картины классических траекторий к описанию, в котором точечная частица в каждый момент времени характеризуется целой функцией и с определённой вероятностью может быть обнаружена в любой пространственной точке, как правило, вызывает затруднения в понимании. Часто у студента ещё довольно долгое время остаётся подозрение, что квантовая механика — это лишь некоторое искусственное построение, временная замена более глубокой теории, в которой удастся снова вернуться к, казалось бы, естественной картине, когда частица в каждый момент времени занимает вполне определённое положение и имеет вполне определённую скорость.

Даже беглый просмотр огромного потока писем с прожектами различных новых теорий, поступающих в научно-исследовательские организации, показывает, что значительная их часть имеет в своей основе именно такое подозрение, превратившееся в настойчивую уверенность автора.

В изложении Фейнмана и Хибса квантовая картина возникает как естественное обобщение классических пространственно-временных траекторий, каждая из которых даёт свой вполне определённый вклад в общую вероятность перехода частицы из точки A в точку B. При некоторых условиях фазовые множители, определяющие относительные веса отдельных траекторий, могут почти полностью компенсировать друг друга и нескомпенсированным останется вклад всего лишь одной траектории; этот частный случай и соответствует обычному классическому движению частицы.

В таком подходе устраняется интуитивная пропасть между классической и квантовой картиной движения, хотя с принципиальной точки зрения квантовая механика в формулировке Фейнмана является, конечно, самой «обычной» и в этом смысле ничем не отличается от квантовой механики, изложенной в цитированных выше учебниках. На каждом этапе вычислений можно перейти от формулировки Фейнмана к обычным выражениям, содержащим волновую функцию.

Иногда можно слышать, что Фейнман показал полную применимость понятия траектории в квантовой механике и тем самым ограничил область действия принципа неопределённостей Δ𝑝Δ𝑥 ~ ℏ. Следует подчеркнуть, что подобные высказывания являются принципиально неверными: никаких дополнительных ограничений на область действия принципа, неопределённостей формулировка Фейнмана не вносит; довольно безразлично, утверждаем ли мы, что траектория частицы в квантовой механике в общем случае не имеет смысла (поскольку движению частицы присуще распределение импульса в интервале Δ𝑝 ~ ℏ/Δ𝑥), или же говорим, что частица не имеет определённого значения импульса, поскольку волновые законы не позволяют локализовать её траекторию с точностью, лучшей чем Δ𝑥 ~ ℏ/Δ𝑝. В обоих случаях речь идёт о том, что движение частицы нельзя одновременно характеризовать точными значениями её координаты и импульса.

Остаётся, конечно, важный вопрос: является ли вероятностная интерпретация квантовой механики единственно возможной. Независимо от будущего ответа выяснение этой проблемы требует какого-то обобщения с выходом за рамки современной квантовой теории. Обобщения такого рода в настоящее время ещё не существует. Несмотря на то что современная теория элементарных частиц находится в весьма неудовлетворительном состоянии, нам пока не известно ни одного экспериментального факта, который был бы совершенно непонятен с точки зрения современных физических представлений, подобно тому как это было с опытом Майкельсона или с излучением чёрного тела на рубеже XIX и XX веков. Это обстоятельство является совершенно поразительным. Может быть, дело здесь в том, что наши представления о свойствах субатомных явлений во многих случаях имеют пока скорее качественный, чем количественный характер.

Недавние эксперименты по проверке дисперсионных соотношений для упругого рассеяния пионов на протонах показали, что в пределах точности измерений современной экспериментальной техники нет никаких отклонений от известных нам квантовых законов по крайней мере до расстояний Δ𝑥 ~ 5⋅10^-15 см и интервалов времени Δ𝑡 ~ 2⋅10^-25 сек.

Вполне возможно, что в будущем нам придётся существенно изменить известные сейчас законы квантования; однако представляется очень маловероятным, чтобы это изменение было связано с отказом от вероятностного описания микроявлений. Наоборот, есть все основания ожидать, что в изучении микромира по мере перехода ко все меньшим масштабам расстояний и времени роль вероятностного элемента будет возрастать.

Формулировка квантовой теории, предложенная Фейнманом, потребовала довольно сложного математического аппарата бесконечномерных интегралов в функциональном пространстве. В математической литературе такие интегралы часто называют «континуальными интегралами» или «интегралами по мере Винера», однако среди физиков более распространёнными являются термины «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Последний из них довольно точно соответствует английскому названию книги Фейнмана и Хибса (Quantum Mechanics and Path Integrals) и сути предложенного Фейнманом метода; этим термином мы и будем пользоваться далее.

Впервые интеграл по траекториям был введён в работах Эйнштейна и Смолуховского по теории броуновского движения, где было показано, что для броуновской частицы вероятность пройти вдоль траектории 𝑥=𝑥(𝑡) таким образом, чтобы

𝑥(0)=0,

𝑎₁ < 𝑥(𝑡₁) < 𝑏₁,

. . . . . . .

𝑎_n < 𝑥(𝑡_n) < 𝑏_n,

где

0 < 𝑡₁ < 𝑡₂ < … < 𝑡_n

равна

𝑏₁

∫

𝑎₁

…

𝑏_n

∫

𝑎_n

𝒫(0|𝑥

₁

;𝑡

₁

)𝒫(𝑥

₁

|𝑥

₂

;𝑡

₂

-𝑡

₁

)…

…𝒫(𝑥

_n-1

|𝑥

_n

;𝑡

_n

-𝑡

_n-1

)𝑑𝑥

₁

…𝑑𝑥

_n

,

где

𝒫(𝑥|𝑦;𝑡)

=

1

2√π𝐷𝑡

𝐷 — постоянный коэффициент диффузии. В пределе, когда все интервалы (𝑡_𝓀-𝑡_𝓀-1)→0, это выражение переходит в бесконечномерный интеграл по траекториям.

С математической точки зрения обоснование такого предельного перехода требует прежде всего строгого определения дифференциального элемента объёма 𝒟ⁿ𝑥 — меры в соответствующем функциональном пространстве. Эта задача была подробно рассмотрена в начале двадцатых годов Винером [8, 9], который показал, что в случае независимых смещений броуновской частицы 𝑦_𝓀≡𝑥(𝑡_𝓀)-𝑥(𝑡_𝓀-1) мера

𝒟

ⁿ

𝑥

=

exp [-

n

∑

𝓀=1

𝑦

₂

^𝓀

/4𝒟(𝑡

_𝓀

-𝑡

_𝓀-1

)]

n

∏

𝓀=1 √4π𝒟(𝑡_𝓀-𝑡_𝓀-1)

n

∏

𝓀=1

𝑑𝑥

_𝓀

Это выражение принято называть мерой Винера (более строгий вывод 𝒟ⁿ𝑥 дан в монографии Каца [10]).

Интеграл по траекториям от функционала 𝐹[𝑥(𝑡)] записывается в виде

∫

𝐹[𝑥(𝑡)]𝒟

ⁿ

𝑥

=lim

𝑏₁

∫

𝑎₁

…

𝑏_n

∫

𝑎_n

𝐹(𝑦

₁

;𝑦

₂

;…𝑦

_n

)𝒟

ⁿ

𝑥.

Интегралу Эйнштейна — Смолуховского соответствует функционал 𝐹, тождественно равный единице. Фейнмановский интеграл по траекториям отличается лишь тем, что фактор (—1) в экспоненте выражения 𝒟ⁿ𝑥 заменяется мнимой единицей 𝑖, а постоянной 𝐷 придаётся другой физический смысл.

В книге Фейнмана и Хибса не дано строгого определения интеграла по траекториям; он вводится чисто интуитивно как предел соответствующего многократного интеграла (заметим, что введение комплексной единицы существенно усложняет строгое обоснование такого предельного перехода). Впрочем, для физика это в большинстве случаев не очень важно; ему нужна лишь уверенность, что строгое доказательство может быть получено.

Как отмечают сами авторы, их книга является не законченным учебником квантовой механики, а скорее введением в этот важнейший раздел современной физики; в качестве учебника её можно использовать совместно с каким-либо другим пособием, где подробно рассмотрены уравнение Шрёдингера и применение аппарата квантовой механики к решению конкретных физических задач (например, из курсов [1—7]).

Книга, несомненно, окажется полезной и интересной как для специалистов, которые уже владеют методами квантовой теории и желают расширить свой теоретический кругозор взглянув на знакомые вещи с несколько другой стороны, так и для аспирантов и студентов, изучающих квантовую механику.

Перевод выполнен Э. М. Барлитом (предисловие, гл. с 1 по 4 и с 10 по 12) и Ю. Л. Обуховым (гл. с 5 по 9).

В. С. Барашенков

Литература

1.

Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, М., 1958.

2.

Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики, М., 1966.

3.

Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1963.

4.

Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, М., 1960.

5.

Ландау Л., Лифшиц Е., Квантовая механика, М., 1963.

6.

Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика, М., 1962.

7.

Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957.

8.

Wiener N., Jorn. of Mathem. and Physics, Massachusetts Institute of Technology, 2, 131 (1923).

9.

Wiener N., Proc. London Math. Soc. (Ser. 2), 2, 454 (1924).

10.

Кац M., Вероятность и смежные вопросы в физике, изд-во «Мир», 1965.

Предисловие

В основу своего нового подхода к квантовой механике Р. Фейнман положил интеграл по траекториям. Основные физические и математические идеи такого подхода впервые возникли у него во время прохождения аспирантуры в Принстоне, хотя в законченном виде, подобном изложению в настоящей книге, они не были сформулированы ещё несколько лет. Эти ранние исследования были вызваны проблемой расходимости собственной энергии электрона. В ходе работы возникла идея некоторого «принципа наименьшего действия», с помощью которого удалось справиться с расходимостями, возникающими в классической электродинамике.

Затем появилась мысль применить этот принцип к квантовой механике, чтобы получить классическую механику как предельный случай квантовой при ℎ стремящейся к нулю.

Фейнман в это время пытался как-нибудь связать квантовомеханическое описание явлений с такими классическими понятиями, как лагранжиан или гамильтонова функция действия — первообразная от лагранжиана. Из бесед с одним европейским физиком, гостившим в то время в США, он узнал о статье Дирака¹), где рассматривалось преобразование квантовомеханической волновой функции с помощью экспоненты от лагранжиана, помноженного на 𝑖ε. Дирак предполагал, что это преобразование аналогично переходу от значения волновой функции в некоторый момент к её значению в другой момент, отделённый интервалом ε , причём такой переход совершается простым умножением на упомянутую экспоненту.

¹ Подробно об истории возникновения этих идей Фейнман рассказывает в своей Нобелевской лекции [УФН, 91, вып. 1, 29 (1967)].— Прим. перев

Возник вопрос: что подразумевал Дирак под словом «аналогично»? Фейнман решил выяснить, не означает ли оно «равняется». Краткое исследование показало, что эту экспоненту действительно можно использовать именно таким образом.

Последующий анализ привёл к применению экспоненты от 𝑆 (в этой книге 𝑆 — интеграл по времени от лагранжиана — будет называться действием) в качестве функции преобразования для конечных интервалов времени. Однако при использовании такой формулы необходимо для каждого момента времени вычислять интегралы по всем пространственным переменным.

Когда готовилась статья, излагающая эту идею [1], возникло представление об «интеграле по всем траекториям» как методе описания и как способе выполнения необходимых интеграций по всем координатам. К тому времени было уже разработано несколько математических приёмов с применением интегрирования по траекториям и рассмотрено несколько приложений, хотя главным направлением работы являлась в то время квантовая электродинамика. Фактически интегрирование по траекториям ни тогда, ни впоследствии не стало удовлетворительным способом устранения расходимостей квантовой электродинамики; зато выяснилось, что этот метод чрезвычайно полезен для решения задач в другой области. В частности, с его помощью законы квантовой электродинамики выражаются в таком виде, что их релятивистская инвариантность становится очевидной. Кроме того, были найдены успешные приложения этого метода и к другим квантовомеханическим задачам.