Читаем Золотое сечение [Математический язык красоты] (Мир математики. т.1.) онлайн бесплатно

Теперь более чем когда-либо все в нашем мире основано на числах. Некоторые из них даже имеют собственные имена, например, число пи (π), число е.

Среди всех этих замечательных чисел одно является особенно интересным: 1,6180339887… Оказывается, что это число очаровало намного больше блестящих умов, чем π и е вместе взятые. Список имен, данных этому числу, довольно длинен и показывает, с каким благоговением к нему относились: золотое число, трансцендентное сечение, божественное число, божественное сечение… Мы будем называть его золотым сечением. Оно обозначается греческой буквой Ф (фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека. Этот выпуск серии «Мир математики» станет нашим путеводителем в невероятный мир золотого сечения.

Мы начнем с обзора многочисленных применений золотого сечения в науке и искусстве на протяжении всей истории человечества, а также расскажем о роли золотого сечения в морфологии (науке о формах) животных и растений. После такого знакомства с самим числом мы будем готовы к более глубокому изучению его замечательных свойств. Наше путешествие начнется на страницах евклидовых «Начал» — величайшего научного бестселлера всех времен и народов — и закончится на суетливых улицах Флоренции эпохи Возрождения, где мы встретимся с ее самым знаменитым сыном — Леонардо да Винчи.

Одним из чудесных свойств золотого сечения является его неисчерпаемая способность порождать изысканные формы: от треугольников до двадцатигранных тел, называемых икосаэдрами. Но несмотря на почетное имя, это число встречается даже в повседневных геометрических объектах, таких как кредитные карты и пятиконечная звезда. Форма кредитных карт представляет собой пример так называемого «золотого» прямоугольника, стороны которого находятся в «золотом» отношении. Так что даже «золотые» прямоугольники повсеместно распространены, не говоря уже о спиралях или звездах. Все они тесно связаны с золотым сечением и часто встречаются в структуре зданий, мозаиках и даже в настольных играх.

Но самым удивительным фактом является связь между золотым сечением и абстрактными идеями красоты и совершенства, которыми так увлечено человечество. В нашем путешествии нас будут сопровождать первоклассные гиды: Леонардо да Винчи, Ле Корбюзье и другие легендарные личности, очарованные красотой золотого сечения. Если мы отвлечемся от творений рук человеческих и посмотрим на окружающую нас природу, то и там мы обнаружим золотое сечение. Развитие многих живых существ следует законам, установленным этим числом, и даже фракталы — красивые структуры, недавно открытые математиками, — связаны с золотым сечением.

В конце нашего увлекательного путешествия мы предложим список книг для желающих глубже познакомиться с миром золотого сечения.

Что общего имеют такие, казалось бы, не связанные друг с другом природные явления, как расположение семян подсолнечника, элегантная спираль раковины улитки и форма Млечного Пути? Какой универсальный геометрический принцип скрыт в работах великих художников и архитекторов от Витрувия до Ле Корбюзье, от Леонардо да Винчи до Сальвадора Дали? Как бы это невероятно ни звучало, ответом на эти вопросы является просто число, известное на протяжении многих веков, которое постоянно появляется в различных творениях природы и искусства. В результате этому числу были даны такие имена, как «божественное сечение», «золотое сечение» и «золотое число». Записать это число практически невозможно, не потому, что оно слишком большое, — оно чуть больше единицы — а потому, что оно состоит из бесконечного ряда цифр, которые никогда не образуют повторяющуюся группу. Поэтому нам придется использовать математическую формулу для записи золотого сечения:

(1 + √5)/2 =~ 1,6180339887

Далее в этой главе мы увидим, как это математическое выражение было получено, но стоит признать, что, по крайней мере на первый взгляд, «божественное сечение» не выглядит особенно впечатляющим. Наметанный глаз, однако, сразу заметит что-то подозрительное, раз появился квадратный корень из пяти. Этот корень обладает рядом свойств, которые дали этому числу, как и многим другим подобным, странное название «иррациональных». Иррациональные числа — это особые числа, на которых мы также подробно остановимся.

Давайте попытаемся подойти к золотому сечению геометрически, чтобы найти его предполагаемое божественное свойство. Для этого построим прямоугольник, одна сторона которого в 1,618 раз длиннее другой; получится прямоугольник, в котором соотношение сторон представляет собой золотое сечение (точнее, его приблизительное значение). Вот что у нас получится:

Прямоугольник с таким соотношением сторон называется «золотым». На первый взгляд он может показаться нам обычным прямоугольником. Тем не менее давайте проделаем простой эксперимент с двумя кредитными картами. Положим одну из них горизонтально, а другую вертикально так, чтобы их нижние стороны находились на одной линии:

Если в горизонтальной карте мы проведем диагональную линию и продолжим ее, то увидим, что она пройдет в точности через правый верхний угол вертикальной карты — приятная неожиданность. Проделав этот эксперимент с двумя книгами одинакового размера, а именно с учебниками или книгами карманного формата, мы получим, вполне вероятно, тот же результат. Это свойство является характерным для двух «золотых» прямоугольников одинакового размера. Многие повседневные прямоугольные объекты созданы с таким соотношением размеров. Случайность? Может быть. Или, возможно, такие прямоугольники и другие геометрические формы, использующие золотое сечение, по каким-то причинам особенно приятны глазу. Согласившись с этим предположением, мы разделим мнение величайших художников и архитекторов. Об этом мы подробнее расскажем в четвертой главе. Не случайно в математике золотое сечение принято обозначать греческой буквой фи (Ф), первой буквой имени Фидия, знаменитого древнегреческого архитектора.

Много написано об этой самой загадочной улыбке в истории искусства, но мы попробуем предложить математическое решение этой загадки. Давайте посмотрим, что произойдет, если наложить несколько «золотых» прямоугольников на изображение лица прекрасной Моны Лизы:

Думал ли Леонардо да Винчи о золотом сечении, работая над своим шедевром? Это кажется маловероятным. Однако мы можем быть вполне уверены, что флорентийский гений придавал большое значение связи между эстетикой и математикой.

Мы еще вернемся к этому вопросу, а пока только заметим, что Леонардо делал иллюстрации к математической книге De Divina Proportione («О божественной пропорции»), написанной его хорошим другом Лукой Пачоли.

Леонардо, конечно, не единственный художник, в чьих работах встречается золотое сечение как в виде отношения двух сторон прямоугольника, так и в более сложных геометрических формах. Этот принцип в своих работах использовали многие художники последующих поколений, в том числе постимпрессионист Жорж Сёра и прерафаэлит Эдвард Бёрн-Джонс. В экстраординарной работе «Тайная вечеря» Сальвадора Дали золотое сечение также играет важную роль. Мало того, что полотно картины имеет размеры 268 на 167 сантиметров (почти идеальный «золотой» прямоугольник), так еще в центре картины изображен монументальный додекаэдр. Эта фигура является одним из правильных многогранников, которые можно вписать в сферу, и тесно связана с золотым сечением. Мы расскажем об этом в третьей главе.

Картина Жоржа Сёра «Купальщики в Аньере» (1884) представляет собой «золотой» прямоугольник. Некоторые из элементов картины также могут быть вписаны в «золотые» прямоугольники.

Давайте теперь обратимся к архитектуре, вершине прикладного искусства. Если золотое сечение и вправду создает некую гармонию во всех ее проявлениях, то, возможно, мы увидим это в геометрических формах самых известных в мире зданий. Хотя немного рискованно настаивать на таком заявлении. Золотое сечение действительно появляется во многих замечательных архитектурных творениях на протяжении всей истории человечества, таких как Великая пирамида или некоторые знаменитые готические соборы, но очень часто его присутствие практически незаметно. Тем не менее в некоторых случаях это вполне очевидно. Например, различные элементы фасада Парфенона, всемирно известного шедевра Фидия, представляют собой «золотые» прямоугольники.

Связь золотого сечения с красотой — вопрос не только человеческого восприятия. Похоже, сама природа выделила Ф особую роль, когда дело касается предпочтения одних форм другим. Чтобы понять это, нам придется углубиться в свойства золотого сечения. Возьмем уже знакомый «золотой» прямоугольник и впишем в него квадрат, стороны которого равны ширине нашего прямоугольника. В результате мы получим новый «золотой» прямоугольник. Повторим эту процедуру несколько раз, как показано на следующем рисунке:

Теперь в каждом из квадратов мы проведем дугу, как показано на рисунке ниже. Радиус каждой дуги равен длине стороны соответствующего квадрата. В результате наш рисунок будет выглядеть следующим образом:

Эта элегантная кривая называется логарифмической спиралью. Она вовсе не является математическим курьезом наоборот, эта замечательная линия часто встречается в физическом мире: от раковины наутилуса…

до рукавов галактик.

… и в элегантной спирали лепестков распустившейся розы.

На примере королевы цветов мы вступаем в другую область, где тоже господствует золотое сечение: мир растений. Присутствие золотого сечения здесь неочевидно и требует введения нового математического понятия: последовательности Фибоначчи. Эта последовательность чисел, описанная итальянским математиком в XIII веке, начинается с двух единиц, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Вот первые пятнадцать чисел этой бесконечной последовательности:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

Частное от деления любого числа последовательности на предшествующее ему число будет стремиться к Ф, давая все более точное значение для каждого следующего числа последовательности. Покажем это:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1,666…

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615348…

34/21 = 1,61904…

55/34 = 1,61764…

89/55 = 1,61818…

144/89 = 1,61797…

...

Ф = 1,6180339887…

Для сорокового числа последовательности частное совпадает с «золотым» числом с точностью до четырнадцатого десятичного знака. Связи между золотым сечением и числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны, позже мы рассмотрим их более подробно. Достаточно отметить, насколько невероятна эта связь между абстрактным царством чисел и физической реальностью.

Чтобы показать это, мы рассмотрим еще один цветок, внешне сильно отличающийся от розы, — подсолнечник с семенами:

Первое, что мы видим, — семена расположены по спиралям двух видов: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Если мы посчитаем спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки, то получим два, казалось бы, обычных числа: 21 и 34. Но эти два числа нам уже встречались.

В структуре цветка появились два идущих друг за другом числа из последовательности Фибоначчи. Если мы проведем такой же эксперимент с другим цветком подсолнечника, вполне вероятно, что мы получим другую пару чисел из этой последовательности, например, 55 и 89. Но это не единственный пример, когда мы можем увидеть золотое сечение в структуре растений. Другими примерами являются расположение веток деревьев, количество лепестков на многих цветах и даже форма листьев. Большая часть пятой главы будет посвящена изучению этой, казалось бы, магической связи между числами и органическими формами.

Иррациональные числа и числовые последовательности, Фидий и Леонардо, розы и подсолнечник — все это образует «золотой мир», построенный на удивительном числе Ф.

Каким бы стал мир, если бы однажды вечером мы легли спать, а ночью все числа исчезли бы вместе с математикой? На следующий день мы проснулись бы в мире без компьютеров, без радио и телевидения, без мобильных телефонов. Не было бы даже чайника, чтобы заварить чашку чая… А что творилось бы на улице! Человеческое общество не может существовать без чисел. Их значение невозможно переоценить, причем не только в современном обществе, основанном на цифровых технологиях. Так было всегда. Числа отражали и направляли человеческую деятельность с доисторических времен, и, пожалуй, они являются самым фундаментальным инструментом цивилизации.

Все цивилизации создавали свои системы счисления, и в каждой культуре это происходило по-разному. Тем не менее, все числа имели одни и те же функции: счет, упорядочивание, измерение и кодирование.

Первые две функции наиболее очевидны. Чтобы уметь считать, мы должны присвоить предметам численные значения, другими словами, дать им номер. Имея ряд пронумерованных объектов, мы займемся следующей естественной задачей: размещением их по порядку. Другие две функции появились значительно позже, так как они связаны с задачами большей сложности. Для измерения необходимы стандарты — набор единиц измерения — чтобы иметь возможность эффективно сравнивать разные результаты измерений. Позже остальных появилась еще одна функция чисел: кодирование. Хоть она и возникла самой последней, но без кодирования, более известного в наши дни как шифрование, невозможно представить современное общество.