Читаем Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики онлайн бесплатно

Возьмите пустую бутылку и понаблюдайте за ней. На первый взгляд ничего интересного: сосуд остается неподвижным, а его невидимое содержимое — неизменным. И кажется, что тратить время на математическое описание содержимого бутылки — абсурд: движения нет, следовательно, и объяснения излишни.

Однако действительность оказывается намного сложнее. Содержимое бутылки — это бурлящий мир, полный молекул, которые мчатся с головокружительными скоростями, ударяясь о стенки сосуда с силой, достаточной для того, чтобы противостоять атмосферному давлению снаружи. Каждая из этих молекул движется в соответствии с законами, открытие которых состоялось благодаря работе великих математиков, таких как Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) или Жозеф Луи Лагранж (1736–1813).

Законы, управляющие молекулами газа, — это мощные математические структуры. Они являются предметом изучения физики, но сфера их действия выходит далеко за пределы этой науки. Собственно, для физики это очень типично: каждая конкретная проблема влечет появление математического решения, которое затем уточняется и совершенствуется, пока не находит новые области применения. Иногда такое решение, пройдя долгий и сложный путь, вновь возвращается в сугубо физическую сферу. Поведение газа иллюстрирует многочисленные математические теории, принципиальные для понимания современного мира. Как видите, в неизменном содержимом пустой бутылки кроется невероятная сложность.

Знание законов, которым подчиняются молекулы газа, — важный, но недостаточный шаг для определения их поведения. Из-за громадного количества частиц любые прогнозы невозможны, и на первый план выходит случайность. Именно в этой сфере лежат истоки статистики и вероятности, которые Людвиг Больцман (1844–1906) использовал для объяснения поведения газа, основываясь на поведении его микроскопических составляющих. Труд Больцмана породил современное понятие энтропии, которое затем было уточнено и расширено, пока не легло в основу теории информации и не стало главным элементом в понимании Вселенной.

Несмотря на усилия Больцмана, до середины прошлого века научное сообщество не могло объяснить такие системы, как земная атмосфера, характеризующаяся постоянным притоком энергии. Новые математические инструменты привели к понятию диссипативной системы и к серии неожиданных прогнозов, в которых живые творения оказываются гораздо ближе к инертным веществам, чем казалось вначале. Такие математические курьезы, как игра жизни, показали, что сложность присуща не только биологическим процессам, но может проявляться в результате работы ограниченного количества простых правил.

Итак, изучение газа открывает окно в другой мир: внутри пустой бутылки находится карта нашей Вселенной.

Когда Исааку Ньютону (1642–1727) удалось объяснить небесную и земную механику одним-единственным уравнением, это стало толчком для существенных подвижек в понимании природы. Внезапно оказалось, что яблоки падают не потому, что имеют естественную тенденцию двигаться вниз, а потому, что на них воздействует та же сила, что и на другие тела во Вселенной. Введение внешней по отношению к этим телам силы исключало необходимость говорить о какой-то предрасположенности: деревянные бруски, движимые внешней силой, останавливались после прекращения ее действия не потому что покой — это естественное состояние бруска, а из-за силы трения. Теперь физические объекты могли считаться субъектами, не наделенными волей, а всю Вселенную можно было представить как шестеренку отлаженного механизма.

Восприятие Вселенной как механизма появилось в XVIII веке, и его отголоски живы до сих пор, хотя и с некоторыми изменениями. Понимание того, что все природные явления можно объяснить с помощью математических законов, стимулировало научный прогресс после Ньютона. Сферы, которые столетиями были предметом философского анализа, одна за другой склонялись перед научным методом.

Введенные Ньютоном инструменты использовались для объяснения таких явлений, как электричество, магнетизм или тепло, и результатом было рождение ряда новых физических дисциплин, к примеру электромагнетизма или термодинамики.

Однако до удовлетворительного описания газовой динамики методами механики оставалось еще два века: физическое сообщество отказывалось принять идею существования атомов, а в тех редких случаях, когда подобное предположение принималось, это преследовало скорее математические цели, не имевшие никакого отношения к реальной действительности. К тому же математический аппарат того времени не был предназначен для решения таких сложных задач. Даже если принять существование атомов и молекул, уравнения, описывавшие их движения, оказались слишком сложными. Некоторые их решения были найдены лишь через 200 лет, но в целом проблема так и осталась нерешенной.

Законы, сформулированные Ньютоном, опирались на очень сильный математический аппарат. Например, в его втором законе утверждалось, что сила, примененная к частице, пропорциональна характерному для нее ускорению, при этом константой пропорции является масса. Выражаясь математически,

F = m·а,

где F обозначает силу, m — массу, а — ускорение.

Применение этой формулы выходит далеко за пределы вычисления ускорения частицы, ведь на самом деле второй закон Ньютона является так называемым дифференциальным уравнением, то есть уравнением, приравнивающим функции. В качестве пояснения рассмотрим обычное уравнение, например

х + 3 = 5.

В этом уравнении говорится, что х — это число, при добавлении к которому числа три получится пять. Таким образом, х равен двум.

В дифференциальном же уравнении неизвестное — это не число, а функция. Функцию можно понимать как механизм, который заданное число превращает в другое число. Например, функция х² дает нам квадрат любого числа, которое мы подставим вместо х: для двух — четыре; для трех — девять.

В дифференциальном уравнении необходимо найти функцию, которая удовлетворяла бы некоторым условиям. Любой физический закон можно выразить как систему дифференциальных уравнений, в которых показано, как некоторые физические величины изменяются с течением времени.

В уравнении второго закона Ньютона говорится, как найти ускорение тела. Однако узнав ускорение, мы можем получить гораздо больше информации. Ускорение — это изменение скорости за единицу времени, так что если мы знаем ускорение, то мы знаем и скорость. Далее, скорость говорит нам, как сильно меняется положение тела за некоторый промежуток времени, так что если мы знаем скорость, мы можем определить положение.

Таким образом, если мы решим уравнение второго закона Ньютона, то можем выяснить, в какой точке находится и с какой скоростью движется тело в каждый момент времени. И эти огромные возможности скрыты в короткой формуле.

* * *

* * *

Несмотря на всю свою важность, законы Ньютона оказались малоприменимы к некоторым типам задач. Но чтобы понять причину этого, нам нужно обратиться к такому понятию, как координаты.

Большинству людей знаком, как минимум, один тип координат: долгота и широта. Зная эти числа, мы можем ориентироваться по карте. Координаты частицы — это группа чисел, позволяющих определить ее положение. Наиболее распространена прямоугольная система координат х и у (названа так Декартом, который эту систему и ввел).

Как видите, если известна координата х (горизонтальное положение) и у (вертикальное положение), можно определить положение частицы на рисунке. Если бы мы говорили о частице в трех измерениях, нам потребовалось бы еще одно число для выражения глубины, или координата z. Если предположить, что газ находится в закрытой коробке, то для уточнения его состояния нужно знать положение каждой его частицы, то есть все три ее координаты. Если учесть, что число частиц в коробке, наполненной воздухом, около 10²³, то есть двадцать три нуля после единицы, несложно догадаться, что сделать нечто подобное является слишком сложной задачей.

Координаты х и у подходят для того, чтобы представить, например, машину, движущуюся по прямой. В этом случае, если выбрать у в качестве высоты, видно, что вертикальное положение машины всегда одно и то же, а горизонтальное с течением времени меняется. Описывать движение машины в прямоугольной системе координат просто: пройденное расстояние — это скорость, умноженная на время. Итак, если мы едем со скоростью 100 километров в час в течение трех часов, то проедем 300 километров.

Однако прямоугольная система координат не подходит для описания кругового движения (см. рисунок).

Если сосредоточиться на горизонтальном положении частицы, можно увидеть, что она движется справа налево и слева направо зигзагом. То же происходит и с вертикальным положением: если смотреть на частицу сбоку, кажется, что она движется сверху вниз, как показано на графике.

Такое простое движение, как круговое, имеет очень сложное выражение в прямоугольной системе координат.

В этом случае для указания положения на плоскости используются полярные координаты. С их помощью можно показать расстояние до центра и угол относительно горизонтальной оси, как показано на рисунке.

Координата r постоянна, так как расстояние до центра никогда не меняется; координата Θ увеличивается с течением времени, по мере вращения частицы. Как видите, смена системы координат значительно облегчает нашу задачу.

Физики вскоре поняли, что для решения сложных задач законам Ньютона недостает гибкости. Нужно было найти новую формулировку этих законов, которая подходила бы для любой системы координат и для любого числа частиц. Жозефу Луи Лагранжу и Уильяму Роуэну Гамильтону удалось переформулировать законы классической механики и привести их к современному виду. Результаты их работы используются для описания самых современных теорий в физике частиц, начиная с квантовой механики и кончая теорией струн.

Гамильтон потратил на переформулирование законов Ньютона довольно много времени. Важным шагом при этом было использование понятия энергии, не включенного в уравнения Ньютона.

Первым предложил нечто похожее на идею энергии Готфрид Лейбниц (1646–1716), который оспаривал с Ньютоном первенство изобретения анализа бесконечно малых — математического инструмента, позволявшего работать с бесконечно малыми числами. Лейбниц обнаружил, что при описании некоторых типов движения используется математическая величина, которая остается постоянной, vis viva, или живая сила. Ученый открыл, что эта сила пропорциональна массе и квадрату скорости. Лейбниц доказал, что для некоторого типа столкновений частиц общая живая сила остается постоянной.

С течением времени понятие живой силы трансформировалось в понятие энергии. Сегодня при описании движения тела говорят о его кинетической энергии. Выражение кинетической энергии практически идентично выражению живой силы: ее значение равно половине последней. Если мы обозначим через Т кинетическую энергию, через m — массу и через v — скорость, кинетическая энергия частицы равна:

T = m·v²/2

Кинетическая энергия остается постоянной при столкновениях тел, например бильярдных шаров. Однако на практике часть этой энергии всегда теряется, преобразуясь в молекулярные движения, невидимые глазу. При этом столкновения атомов, или элементарных частиц, абсолютно эластичны: вся кинетическая энергия при столкновениях сохраняется. Поэтому можно говорить о внутренней энергии газа как о сумме энергий всех частиц: хотя атомы постоянно сталкиваются, их общая энергия остается неизменной.