Читаем Физика в примерах и задачах онлайн бесплатно

Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев

ФИЗИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Занимает промежуточное положение между учебником физики и сборником задач. Цель авторов - научить читателя рассуждать, находить ответы на новые вопросы, относящиеся к известной ему области, довести его до глубокого понимания сути рассматриваемых явлений. В новом издании (2-е изд. - 1983 г.) нашли отражение последние изменения содержания курса физики средней школы и программ конкурсных экзаменов в вузы.

Для слушателей и преподавателей подготовительных отделений вузов и физико-математических школ, а также лиц, занимающихся самообразованием.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение задач составляет неотъемлемую часть полноценного изучения физики на любом уровне - от первоначального, школьного, вплоть до специального физического образования.

Судить о степени понимания физических законов можно по умению сознательно их применять для анализа конкретных физических явлений, т.е. для решения задач. Опыт преподавания показывает, что наибольшую трудность для учащихся представляет вопрос «с чего начать?», т.е. не само использование физических законов, а именно выбор, какие законы и почему следует применять при анализе каждого конкретного явления. Это умение выбрать путь решения задачи, т.е. умение определить, какие именно физические законы описывают рассматриваемое явление, как раз и свидетельствует о глубоком и всестороннем понимании физики. Сколько раз при преподавании физики и в школе, и в вузе авторам приходилось наблюдать, как ознакомление буквально с несколькими первыми строчками приводимых в задачнике решений позволяет учащемуся более или менее уверенно довести решение до конца самостоятельно. Но даже и после этого значительная часть учащихся, как правило, не может объяснить, почему же применение именно данного физического закона приводит к поставленной цели. Преодолению этих трудностей и призвано помочь предлагаемое пособие.

Однако это не единственная цель, которую ставили перед собой авторы. По их глубокому убеждению, должна существовать и «обратная связь» между разбираемыми задачами и физическими законами. Каждая задача должна давать повод для серьёзного и глубокого, пусть иногда и совсем краткого, разговора о сути физических явлений и законов.

Изучая физику, учащиеся постигают различные физические законы, одни из которых относятся только к определённому кругу явлений, например механических, электрических, оптических, другие же являются фундаментальными, общими для всех физических явлений. Для глубокого понимания физики необходимо чёткое осознание степени общности различных физических законов, границ их применимости, их места в общей физической картине мира. Во многих задачах всех разделов книги показывается, как, например, применение закона сохранения энергии часто позволяет решить задачу проще, взглянуть на неё с более общих позиций и, что особенно важно, даёт возможность найти ответы на некоторые вопросы, касающиеся тех явлений, для которых неизвестны описывающие их конкретные законы.

При решении задач необходимо умение уверенно применять законы сохранения, но научиться правильному применению этих законов не так просто. Иногда, уверовав во всемогущество фундаментальных законов физики, учащиеся начинают применять их формально, без анализа сути происходящих явлений. В книге на примере некоторых разбираемых задач показано, к каким ошибкам это может привести. В этом отношении особенно поучительны задачи, в которых рассматриваются столкновения упругих стержней.

Таким образом, решая физическую задачу, полезно стремиться использовать не конкретные законы, относящиеся к ограниченному кругу физических явлений, а наиболее общие законы, справедливые для физики в целом.

Ещё более высокая степень понимания физики определяется умением использовать при решении задач не только фундаментальные физические законы, но и методологические принципы физики, такие как принципы причинности, симметрии, относительности, эквивалентности и т.д. Использование этих принципов позволяет в ряде случаев сразу качественно предсказать общий характер рассматриваемого явления, после чего решение задачи сводится уже только к установлению количественных соотношений. В качестве примера можно указать на использование принципа симметрии в задачах «Монета на горизонтальной подставке», «Заряд внутри проводящей сферы», «Провода и клеммы» и т.д., принципа относительности - в задачах «Как опередить автобус?», «Взаимные превращения электронов и фотонов» и т.д.

Процесс решения задачи похож на небольшое исследование. Как и в настоящем научном исследовании, заранее далеко не всегда ясно, какой должна быть последовательность действий для получения результата. Никаких универсальных рецептов для этого не существует. Необходимое умение приходит только в результате упорного труда по мере накопления опыта.

Физический мир сложен. Далеко не все явления поддаются классификации по разделам физики. Поэтому порой не так просто отнести ту или иную задачу к определённому разделу. Но именно такие задачи, как правило, и представляют наибольший интерес, поскольку в них можно почувствовать единство физического мира, увидеть аналогию между совершенно разными по своей физической природе явлениями и найти общий язык для их описания.

В предлагаемой книге подобные задачи отнесены к определённому разделу по формальному виду их условия, несмотря на то, что в процессе решения приходится затрагивать материал других разделов.

В приводимых решениях задач и разборах примеров уделяется особое внимание тем моментам, которые должны присутствовать в любом исследовании. Это, во-первых, обоснованный выбор идеализации изучаемого процесса, ибо вместо самого явления мы всегда вынуждены рассматривать некоторую упрощённую модель, стремясь сохранить в ней самые характерные, наиболее важные черты явления. Во-вторых, это обязательное исследование простых частных и предельных случаев, для которых ответ очевиден или может быть получен сразу независимо от общего решения. Очень полезен также поиск и разбор аналогий с другими задачами и явлениями, а также сравнение методов их анализа.

При решении задач широко используются приближённые методы. Часто их применение не только облегчает решение задачи, но и позволяет представить результат в более удобном для исследования виде. В некоторых случаях, когда получение даже приближённого результата сопряжено с необходимостью выхода за рамки принятого уровня изложения, используются оценки, дающие качественную картину и порядок величины. И, наконец, обращается внимание на возможность разных подходов к решению задачи.

Все приведённые здесь задачи использовались на уроках физики в специализированной школе-интернате при Ленинградском государственном университете и в средней школе № 24 г. Ленинграда. Многие из них предлагались на олимпиадах школьников г. Ленинграда и на семинарских занятиях со студентами на физических факультетах Ленинградского государственного университета и Ленинградского педагогического института.

Оказалось, что некоторые задачи представляют определённые трудности даже для студентов-физиков, несмотря на то, что для решения этих задач, строго говоря, не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы как по физике, так и по математике.

Для третьего издания книга была частично переработана и дополнена в соответствии с современными тенденциями развития методов преподавания физики и с учётом действующей программы по физике для поступающих в вузы.

Авторы надеются, что книга окажется полезной для учащихся старших классов средней школы, профессионально-технических училищ и техникумов, а также для преподавателей и студентов вузов.

I. КИНЕМАТИКА

Кинематика изучает «геометрию» движения. Что мы под этим понимаем? «Геометрия» движения - это математическое описание движения тел без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.

Движение материальной точки всегда рассматривается в какой-либо системе отсчёта. Положение материальной точки можно определить, если задать её радиус-вектор r или, что эквивалентно, три координаты x, y, z - проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат. Движение математически описано полностью, если известен радиус-вектор как функция времени r(t), т.е. известны три скалярные функции x(t), y(t), z(t). Например, для равномерного движения, т.е. движения с постоянной скоростью v, функция r(t) имеет вид

r(t)

=

r

+

vt

,

(1)

а для равнопеременного движения с ускорением a

r(t)

=

r

+

vt

+

at^2

2

.

(2)

В этих формулах r характеризует начальное положение точки, т.е. r=r(t)|_t=0=r(0), v - начальная скорость.

Подчеркнём, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путём, либо расчётным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперёд, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе отсчёта, если на точку не действуют силы (или все действующие силы уравновешиваются), а уравнение (2) - если действующие силы постоянны. В последнем случае говорят, что движение тела происходит в постоянном во времени однородном силовом поле. Примером такого поля может служить поле тяготения вблизи поверхности Земли при условии, что высота тела над поверхностью мала по сравнению с радиусом Земли. Разумеется, движение тела вблизи поверхности Земли описывается уравнением (2) только тогда, когда можно не учитывать сопротивление воздуха.

Итак, функция r(t) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость r(t). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид

v(t)

=

v

+

at

.

При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении a всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость x, y с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям

x(t)

=

x

+

v

_x

t

+

a_xt^2

2

,

y(t)

=

y

+

v

_y

t

+

a_yt^2

2

.

(3)

В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось y вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: a_x=0, a_y=-g, и система (3) принимает вид

x(t)

=

x

+

v

_x

t

=

x

+

v

cos ·t

,

y(t)

=

y

+

v

_y

t

-

gt^2

2

=

y

+

v

sin ·t

-

gt^2

2

,

(4)

где - угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда x=y=0.

При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т.е. по нормали к траектории, и равно по модулю

a

=

v^2

R

,

(5)

где R - радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью v по произвольной криволинейной траектории. В этом случае R есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости, направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет ещё составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.

Решение кинематической задачи сводится к использованию указанных выше уравнений в конкретных условиях, сформулированных в задаче. При этом было бы наивно пытаться овладеть каким-то «общим методом» решения, пригодным для всех задач; подобного «общего метода» попросту не существует. Наоборот, на приводимых примерах читатель может убедиться, что всегда существует несколько более или менее различающихся между собой подходов к исследованию физических явлений.

Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные варианты решения.

1. Переправа.

Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми l (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна u.

Рис. 1.1. Скорость течения u в любом месте реки одинакова

С какой наименьшей постоянной скоростью v_min относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки A попасть в точку B на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии s ниже по течению? На какое минимальное расстояние s_min снесёт лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль её скорости относительно воды равен v?

Рис. 1.2. Скорость лодки относительно берегов V равна сумме векторов u и v

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчётливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов V есть векторная сумма скорости течения u и скорости лодки относительно воды v (рис. 1.2):

V

=

u

+

v

.

(1)

Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость v. Тогда, отправляясь из точки A, лодка сможет попасть в точку B только в том случае, если её скорость относительно берегов V удастся направить по прямой AB или левее этой прямой. Если ни при каком направлении v мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость V вдоль прямой AB, то лодку обязательно снесёт течением ниже точки B (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Выбор направления скорости лодки v для переправы из A в B

Рис. 1.4. К вычислению минимальной скорости v_min

Нужное нам направление вектора V может быть получено при разных значениях вектора v. Скорость течения u во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды v может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега V направлена именно по прямой AB, а скорость v перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим

v_min

u

=

l

l^2+s^2

.

(2)