Читаем Теоретическая механика в приложении к астрономии онлайн бесплатно

Автор книги, Митькин Александр Ильич, 1976 год рождения (23 января), город Рязань.

Это первая моя книга.

Книга посвящена вопросам механики применительно к астрономии. Так уж сложилось, что физика, преподаваемая в ВУЗах, недостаточно точна, она пользуется упрощениями. В жизни такие упрощения значения обычно не имеют, но что касается астрономии, то надо более внимательно подходить к подобным вопросам. К примеру, считается, что движение сводится к движению центра масс. Т.е. тело, если тело не вращается, то можно его заменить материальной точкой, расположенной в центре масс. Это не совсем так.

Работа носит исследовательский характер. Я не знал заранее результата, так что могут встретиться размышления.

1-ая глава практически один к одному содержит фрагмент текста, взятого из замечательного учебника по механике «Курс теоретической механики», автор Бутенин Н.В. Книга очень хорошая, и я взял фрагмент замкнутой теории, чтобы показать, в каких местах делаются упрощения. Глава получилась довольно объёмной, поскольку теория должна быть достаточной для понимания, там не должны возникать формулы из ниоткуда. Я сделал лишь небольшие сокращения в самом начале.

2-ая глава посвящена неточностям теории. Идея сводится к последовательному разбору параграфов из первой главы с целью найти неточности и неверные выводы.

В этой главе предлагаются, также, некоторые гипотезы, взамен неверных утверждений стандартной теории.

3-я глава содержит вычисления. Рассматривается вопрос притяжения тел различной геометрической конфигурации. Некоторые объёмные фигуры требуют сложных вычислений. В таких случаях легко совершить ошибку…

Чтобы выявить ошибки в вычислениях или, по крайней мере, выявить правильную зависимость, вычисления сделаны для нескольких похожих тел. Кроме того, приводится сам ход вычислений, чтобы была возможность проверить решение читателю.

Для каждого тела, поскольку они имеют разную размерность и конфигурацию, вводятся свои обозначения. Когда будут производиться сравнения, обозначения надо будет свести к однотипным. Я поздно обратил на это внимание, поэтому получился такой казус.

4-ая глава посвящена вопросам антигравитации и другим интересным явлениям. К сожалению, содержание книги (она и так получилась достаточно насыщенной) не позволяет детальней рассмотреть эти явления.

5-ая глава посвящена тёмной материи. Сегодня одна из основных загадок астрономии – что же такое тёмная материя? Прежде чем ставить такой вопрос, надо разобраться, как ведёт себя обычная материя. Может и нет никакой тёмной материи.

В этой главе проводится исследование того, что представляет собой галактика, какова её структура.

Я не делаю окончательных выводов. В астрономии нередко ошибаются в разы, поэтому выводы делать рано.

Глава

I

Курс теоретической

механики

(фрагмент теории взят из одноимённой книги. Авторы: Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин)

В тексте вектор и модуль вектора могут иметь одинаковые обозначения. Что именно имеет-ся в виду в том или ином случае, определяется по смыслу.

Параграфы §§1.3, 1.5, 1.9, 1.11, 1.13, 1.15, 1.21 содержат примеры решений задач.

§ 1.1. Аксиомы статики и их следствия

В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то же тело, или силы, приложенные к взаимодействующим телам. Эти законы установлены многочисленными непосредственными наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто далёких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих аксиом.

Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не может находиться в покое. Это означает, что одна сила не может составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома устанавливает условия, при выполнении которых простейшая система сил будет уравновешена.

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твёрдому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Это означает, что если абсолютно твёрдое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твёрдое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные и противоположные по модулю силы, и тело в начальный момент находилось в покое, то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.1 показаны уравновешенные силы F₁, F₂ и P₁, P₂, удовлетворяющие соотношениям: (F_1, F₂)~0, (P_1, P₂)~0.

При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенных к концам жёстких стержней, весом которых можно пренебречь, причём известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформулированной

аксиомы непосредственно следует, что действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через концы стержня, противоположны по направлению и равны друг другу по модулю (рис. 1.2, а). Этот вывод сохраняется и в случае, когда ось стержня криволинейна (рис. 1.2, б).

Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.

Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия с силами, при которых состояние тела не изменяется.

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной точке, можно заменить одной равнодействующей силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: первое – две силы F₁ и F₂ (рис. 1.4), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т.е. эквивалентны одной силе

второе – аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы

Другими словами, равнодействующую R можно построить как диагональ параллелограмма со сторонами, совпадающими с F₁ и F₂.

Модуль равнодействующей определится равенством

где – угол между данными векторами F₁ и F₂.

Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обязательно абсолютно твёрдым телам.

Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частности, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т.д. составляющие, т.е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два направления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составляют систему, для которой сила R будет равнодействующей (рис. 1.4). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу R, и с рёбрами, направленными по этим прямым (рис. 1.5).

Аксиома 4 (3-ий закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам.

Если тело I действует на тело II с силой P, а тело II действует на тело I с силой F (рис. 1.6), то эти силы равны по модулю (F=P) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. F=-P.

Если обозначить через F силу, с которой Солнце притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой -F.

неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвёртой аксиомы тело действует на плоскость с такой же силой, но её направление будет противоположно силе T. На рис. 1.7 показано тело, движущееся вправо; сила трения T приложена к движущемуся телу, а сила T^'=-T – к плоскости.

причём эти силы взаимодействия определяются заданными силами F₁ и F₂.

Для нахождения сил взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя тела A (рис. 1.8, б) должно быть

а значит, .

Точно так же из условия равновесия тела B (рис. 1.8, в) следует

т.е.

Аксиома 5. Равновесие деформированного тела не нарушится, если жёстко связать его точки и считать тело абсолютно твёрдым.

Этой аксиомой (её называют иногда принципом отвердевания) пользуются в тех случаях, когда речь идёт о равновесии тел, которые нельзя считать твёрдыми. Приложенные к таким телам внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твёрдого тела, однако для нетвёрдых тел эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это положение простым примером. Выше было показано, что для равновесия абсолютно твёрдого невесомого стержня необходимо и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы F и F' действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для нити они недостаточны – необходимо дополнительно потребовать, чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими (рис 1.9, б), в то время как для стержня они могут быть и сжимающими (рис. 1.9, а).

В заключение этого параграфа рассмотрим случай эквивалентности нулю трёх непараллельных сил, приложенных к твёрдому телу (рис. 1.10).

Теорема о трёх непараллельных силах. Если под действием трёх сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости, и их линии действия пересекаются в одной точке.

Пусть на тело действует система трёх сил F₁, F₂ и F₃, причём линии действия сил F₁ и F₂ пересекаются в точке A (рис. 1.10, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы F₁ и F₂ можно перенести в точку A (рис. 1.10, б), а по аксиоме 3 их можно заменить одной силой R (рис. 1.10, в), причём

Таким образом, рассматриваемая система сил приведена к двум силам R и F₃ (рис. 1.10, в). По условиям теоремы тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме 1 силы R и F₃ должны общую линию действия, но тогда линии действия всех трёх сил должны пересекаться в одной точке.

§ 1.2. Сложение двух параллельных сил

§ 1.3. Момент силы относительно точки и относительно оси. Момент пары сил

§ 1.4. Теоремы о парах

§ 1.5. Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие системы

§ 1.6. Лемма о параллельном переносе силы

§ 1.7. Основная теорема статики

§ 1.8. Аналитическое определение главного вектора и главного момента пространственных сил

§ 1.9. Приведение плоской системы сил к простейшему виду

§ 1.10. Статические Инварианты. Динамический винт

§ 1.11. Частные случаи приведения пространственной системы сил

§ 1.12. Центр параллельных сил

§ 1.13. Скорость точки

§ 1.14. Ускорение точки

§ 1.15. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

§ 1.16. Дифференциальное уравнение траектория точки, движущейся в центральном поле сил

§ 1.17. Виды траекторий. Круговая и параболическая скорости

§ 1.18. Определение параметров околоземной траектории по начальным условиям

§ 1.19. Траектории искусственных спутников Земли

§ 1.20. Определение времени полёта по эллиптической орбите (уравнение Кеплера)

§ 1.21. Траектории, пересекающие поверхность Земли

§ 1.22. Центр масс

§ 1.23. Свойства внутренних сил

§ 1.24. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек

§ 1.25. Задача двух тел

§ 1.26. Количество движения материальной системы

§ 1.27. Теорема об изменении количества движения материальной системы

§ 1.28. Теорема о движении центра масс

Дьявол кроется в деталях…

Глава

II

Ошибки теории

(Разбирается теория, изложенная в главе I)