Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы онлайн бесплатно

Перед вами, дорогой читатель, задачник, адресованный тем, кто готовится к поступлению в вуз. Подобных пособий много, и поэтому, прежде чем приступить к систематическим занятиям, вам предстоит сделать разумный выбор.

Данный сборник представляет собой альтернативу существующим пособиям. Это не набор задач, а набор идей и приемов, используемый при их составлении и решении. И набор минимальный: здесь не тысячи, а примерно 500 задач. На каждую можно потратить по полчаса, а на некоторые — даже по часу. Но общий лимит времени, отведенного на подготовку к вступительным экзаменам, окажется приемлемым.

Мы построили книгу так, чтобы научить читателя самостоятельно решать математические задачи. А для этого он прежде всего должен понять особенности этих задач и задуматься над тем, что их отличает от задач, формулируемых в других науках. Надеемся, что такое понимание появится у читателя после того, как он прочтет материал, содержащийся во введении. Тем самым будут созданы предпосылки для успешной работы с материалом основных глав книги, и читатель сможет перейти к решению задач, приобретая необходимые навыки и накапливая опыт по их разумному применению.

Чтобы помочь в этом читателю, мы избрали простейшую форму, снабдив каждую задачу указаниями, т. е. подсказками, помогающими найти правильный путь к решению. Таких подсказок может быть от одной до трех. Задач с тремя подсказками совсем немного. Для большинства задач имеются одно или два указания. Пользоваться ими можно легко научиться, приступив к систематической работе с задачником. Наш совет: не надо торопиться сразу читать решения. Иной раз, не зная сути указаний, будет трудно его понять.

Первые и вторые указания собраны в самостоятельные разделы. Если к задаче дано только первое указание, то в конце его стоит знак (!). В тех случаях, когда не удается обойтись двумя указаниями, в конце второго стоит знак (!!) и непосредственно после него помещено третье (дополнительное) указание.

Итак, данный задачник содержит необходимый минимум задач, которые предстоит научиться решать при подготовке к вступительному экзамену. Удобно пользоваться двумя задачниками одновременно: данным — для приобретения навыков и хорошо известным задачником M. И. Сканави — для проверки достигнутого уровня подготовки.

В издание включены 50 новых задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в последние годы. Вместе с тем некоторые задачи, не отражающие современную программу математики средней школы, исключены. Оставлены лишь задачи по комбинаторике, которые полезны для факультативных занятий и нужны тем, кто готовится к вступительному экзамену по биологии.

В свое время мы написали этот задачник с замечательным педагогом — Евгением Борисовичем Ваховским. При подготовке данного издания я стремился сохранить уважительное отношение к нашему читателю, которое всегда было для нас обязательным требованием.

Я желаю каждому, кто воспользуется этой книгой, успехов и надеюсь, что вы пришлете свои замечания, пожелания, а также возможные уточнения и дополнения в адрес издательства.

А. Рывкин

Способы доказательных рассуждений в математике и в других научных дисциплинах различны. Естественным для человеческого сознания является индуктивное мышление, т. е. накопление фактов и последующее их обобщение в рамках теории. В математике все не так. Математика — наука дедуктивная, в ней от общих понятий переходят к частным, устанавливая свойства соответствующих им объектов.

Исходные положения математической теории как бы заранее фиксированы. Это базовые понятия, которые не могут быть математически определены через другие, более широкие понятия, так как сами являются строительными элементами будущей теории (точка, прямая, плоскость, натуральное число). Отношения между базовыми понятиями, принимаемые как истинные, называют аксиомами. Строго говоря, сами базовые понятия вместе с аксиомами, которые их связывают, можно воспринимать как общее развернутое определение основных базовых понятий. (Это не исключает последующего пополнения списка базовых понятий и аксиом.)

Поясним, что мы понимаем под математическим определением и чем оно отличается от других определений.

Иногда говорят, что натуральные числа — это числа, возникающие в процессе счета. Или же, что точка — трехмерный геометрический объект, не имеющий длины, ширины и высоты. Дают и такое определение числа 2: 2 — это то общее, что присуще всем группам предметов, состоящих из двух элементов.

Такие определения нельзя считать математическими.

Математическое определение непременно строится по принципу выделения частного понятия из общего с помощью конкретного отличительного признака. Так поступают в биологии, где род — более широкое понятие, чем вид, а определение вида дается через определение рода (родовое понятие) путем указания видового отличия. Математическое определение должно непременно содержать и родовое понятие, и видовое отличие.

Приведенное выше определение числа 2 этому требованию не удовлетворяет, ибо слова «то общее» нельзя считать родовым понятием — оно не очерчивает конкретное множество объектов.

Определения натурального числа и точки на первый взгляд имеют форму математических определений. Натуральное число было определено через более общее понятие числа, а точка — через более широкое понятие трехмерного геометрического объекта. Однако в этом случае возникает вопрос: что такое число и что такое трехмерный геометрический объект? Эти два понятия нельзя избрать в качестве базовых, ибо они слишком сложны, чтобы им можно было дать разумное интуитивное толкование. Понятие числа в математике достаточно изящно конструируется из понятия натурального числа путем последовательного расширения наших представлений о числе: вводятся отрицательные целые числа и нуль, рациональные числа, иррациональные числа. Точно так же понятие геометрического объекта предполагает большое разнообразие конкретных реализаций, конструируемых посредством определений из простейших, т. е. элементарных понятий, какими являются точка, прямая, плоскость. K тому же мы не обязаны ограничиваться рассмотрением только трехмерного геометрического пространства, в котором плоскость имеет два измерения, прямая — одно, а точка имеет нулевую размерность. Если мы решимся исследовать пространства четырех измерений и более, то размерности точки, прямой, плоскости останутся неизменными.

Приведем примеры того, как в математике определяют новые понятия (они набраны прописными буквами) и укажем в каждом из определений родовое понятие (полужирный шрифт) и видовое отличие (курсив).

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны и параллельны.

ТРАПЕЦИЯ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.

ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, кратные числу 2.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа вида ^p/_q, где p и q — целые числа, q /= 0.

Рассмотрите самостоятельно определения предела и производной.

У стандартных математических задач есть одно важное свойство: для их решения не требуется озарения. Нет необходимости долго размышлять над такой задачей в поисках подхода к ее решению. То, что обычно следует предпринимать, вообще говоря, известно заранее. Нужно только это разумно и эффективно осуществить.

Начинают обычно с перевода содержательных условий задачи на язык математических символов и соотношений. А когда это сделано, остается позаботиться об использовании всех условий задачи. Именно всех условий, ибо в правильно поставленной математической задаче лишних условий быть не может. Поэтому каждое из условий непременно должно быть использовано в процессе решения.

Часто спрашивают: обязательно ли стремиться к полной формализации условий задачи? Хотя среди преподавателей еще бытует такая традиция, делать это не только не обязательно, но часто и не нужно. Увлечение формальной записью может внешне неоправданно усложнить задачу, сделать ее трудно обозримой и даже отпугивающей. Соблюдать меру здесь очень уместно. А там, где появляется чувство меры, наука хотя бы частично уступает свои права искусству. Вот почему математики так высоко ценят изящные доказательства и с большой неохотой ведут длинные и монотонные выкладки. Увы, в реальной жизни без них не обойтись.

А теперь рассмотрим два простых примера.

Первый показывает, насколько результат обыденного мышления может расходиться с результатом, полученным математически.

Задача 1. На склад привезли 100 кг ягод влажности 99%. Ягоды полежали и усохли. Их влажность стала 98%. Сколько килограммов ягод стало после усушки? Ответ дать с точностью до 1 кг.

Последнее замечание неявно подсказывает неверный вывод: поскольку влажность стала на 1%-й пункт ниже, а всего было 100 кг, то и потери массы составили где-то около 1 кг (числа 100, 99 и 98 мало отличаются одно от другого). Такой вывод возникает как следствие применения при решении математической задачи неоправданной аналогии.

А теперь поступим так, как должен поступить математик.

Переведем условие задачи на математический язык. Ягод было 100 кг, а их исходная влажность равнялась 99%. Это означает, что сухого вещества в поступивших на склад ягодах было ровно 1 кг, а 99 кг составляла масса содержащейся в них воды. После усушки масса сухого вещества осталась прежней. Изменилась только масса воды. Но если вначале сухое вещество составляло 1% от общей массы ягод, то после усушки тот же 1 кг сухого вещества составил уже 2% от новой общей массы ягод. Это означает, что после усушки общая масса ягод стала всего 50 кг, так как 2% от 50 кг и есть 1 кг сухого вещества.

Задача была решена без какой-либо явной формализации, хотя вполне строго. Не составит труда предложить и ее формальное решение.

Обозначим через x массу ягод после усушки. (В условии задачи как раз и требуется найти численное значение x.) Тогда сухое вещество (а его масса равна 1 кг) составляет (100 - 98)%, т. е. 2% от x. Получаем уравнение

0,02 x = 1, или x = 1 : 0,02 = 50 (кг).

Утверждаю: математическая задача средней трудности, как правило, достаточно просто решается путем перевода ее содержательных условий на язык математических символов и соотношений и последующей заботой о том, чтобы каждое условие задачи было эффективно использовано. Трудности возникают, когда мы либо не умеем формализовать задачу, либо не знаем, как использовать какое-то из ее условий, либо недостаточно знакомы с необходимыми для ее решения положениями теории.

Приведем пример еще одной задачи, на этот раз геометрической, решение которой находится сразу, как только правильно использованы все ее условия.

Задача 2. Сумма двух противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равна а. Одна из сторон этого четырехугольника имеет длину b, а смежная с нею — длину c. Найти две другие стороны четырехугольника.

Прежде всего нужно использовать условие задачи, в силу которого четырехугольник описан около окружности, а для этого вспомнить основное свойство такого четырехугольника (если оно доказывается в рамках теоретического курса) или непосредственно вывести это свойство (если в теоретическом курсе его нет).

Обратимся к рисунку и проведем из центра окружности O радиусы в точки ее касания P, R, S, и T со сторонами четырехугольника AB, BC, CD и DA, соответственно.

Каждый из радиусов будет перпендикулярен соответствующей ему касательной, а отрезки двух касательных к окружности, проведенные из одной точки, будут попарно равны, т. е. АТ = АP, PВ = ВR, RС = CS, SD = DT.

Отсюда вытекает простое свойство описанного около окружности четырехугольника: суммы длин его противоположных сторон равны как равносоставленные, т. е. как состоящие из одинаковых по длине отрезков. (Рисунок позволяет убедиться в этом непосредственно.)

Воспользуемся остальными условиями задачи: AB + DC = AD + BC = а. Пусть, например, BC = b, DC = с. Тогда AB = а - с, AD = а - b.

Еще раз обратите внимание: мы не размышляли в поисках решения задачи, а лишь заботились о привлечении необходимых теоретических сведений, позволяющих эффективно использовать ее условия. Если вы наблюдательны, то могли заметить, что мы упомянули о том, что радиусы перпендикулярны своим касательным, но не воспользовались этим фактом. Это не совсем так, ибо косвенно мы к нему обращались. Решая задачу, мы воспользовались теоремой о том, что суммы длин противоположных сторон описанного около окружности четырехугольника равны, и даже наметили доказательство этой содержащейся в школьном курсе теоремы, что, вообще говоря, излишне. Мы воспроизвели идею доказательства теоремы, ибо иначе решение было бы менее понятным. Исчезли бы важные геометрические ассоциации, позволяющие усвоить лежащую в его основе идею. По ходу доказательства мы воспользовались теоремой, в силу которой отрезки двух касательных к окружности, которые проведены из одной точки вне этой окружности, равны. Например, для точки С это будут отрезки SC и RC, т. е. SC = RC. При доказательстве этого

факта устанавливают равенство двух прямоугольных треугольников ORC и OSC (они равны, так как имеют общую гипотенузу OC и катеты OR = OS, равные радиусу окружности).

Когда-то для всех общеобразовательных школ был единый учебник геометрии. Десятилетиями он ежегодно воспроизводился. Содержание курса выпускник должен был знать досконально, а, решая задачи, не перегружать рассуждения доказательством теорем, на которые просто требовалась ссылка. Сейчас учебников много, а в их построении появилось разнообразие. Поэтому подобная жесткость со стороны экзаменатора во многих случаях стала невозможной. В рассуждениях появилось больше свободы, они стали более обыденными и менее таинственными. При очень экономном использовании теоретического курса решение задачи может стать менее понятным. Оно не получает необходимого отклика со стороны уже приобретенного учащимся опыта и не находит необходимой интуитивной поддержки.