Читаем 6. Электродинамика онлайн бесплатно

§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя

§ 2. Механическая и электрическая энергии

§ 3. Энергия постоянных токов

§ 4. В или А?

§ 5. Векторный потенциал и квантовая механика

§ 6. Что истинно в статике, но ложно в динами­ке?

§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя

В предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным

m= IA,(15.1)

где I — сила тока, a A — площадь петли. Момент направлен по нормали к плоскости петли, так что можно писать и так:

m=IАn,

где n — единичный вектор нормали к пло­щади А.

Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнит­ное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось z направлена по полю, а ось y лежит в плоскости петли, образующей с плоскостью xy угол q (фиг. 15.1). Тогда магнитный момент петли, будучи нормальным к ее плоскости, образует с магнитным полем тоже угол q.

Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в одно­родном поле). Но благодаря силам, действую­щим на стороны, обозначенные на фиг. 15.1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси у. Величина этих сил F_lи F₂ такова:

F₁=F₂=IBb.

Фиг. 15.1. Прямоугольная петля с током I в однородном поле В, направленном по оси z.

Действующий на нее вращательный момент равен t=mXB, где магнитный момент m=Iab.

Их плечо равно

так что вращательный момент

Вращательный момент может быть записан и векторно:

(15.2)

То, что вращательный момент дается уравнением (15.2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но ре­зультат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотно­шение подобного же рода:

Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуаль­ной же работы утверждает, что момент вращения — это ско­рость изменения энергии с углом, так что можно написать

Подставляя t =+mBsinq и интегрируя, мы вправе принять за энергию выражение

(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда m и В параллельны.)

По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле.) По­этому мы будем называть ее U_мех, чтобы не забыть, что это лишь часть энергии. И, кроме того, постоянную интегриро­вания в (15.3) мы вправе принять равной нулю, все равно ведь какие-то другие виды энергии мы не учли. Так что мы перепишем уравнение так:

(15.4)

Опять получилось соответствие с электрическим диполем, где было

(15.5)

Только в (15.5) электрическая энергия — и вправду энергия, а U_мехв (15.4) — не настоящая энергия. Но все равно ее можно применять для расчета сил по принципу виртуальной работы. Надо только предполагать, что ток в петле (или по крайней мере магнитный момент m) остается неизменным при повороте.

Для нашей прямоугольной петли можно показать, что U_мех соответствует также работе, затрачиваемой на то, чтобы внести петлю в поле. Полная сила, действующая на петлю, равна нулю лишь в однородном поле, а в неоднородном все равно останутся какие-то силы, действующие на токовую петлю. Внося петлю в поле, мы вынуждены будем пронести ее через места, где поле неоднородно, и там будет затрачена работа. Будем считать для упрощения, что петлю вносят в поле так, что ее момент направлен вдоль поля. (А в конце, уже в поле, ее можно повер­нуть как надо.)

Вообразите, что мы хотим двигать петлю в направлении x, т. е. в ту область, где поле сильнее, и что петля ориентирована так, как показано на фиг. 15.2. Мы отправимся оттуда, где поле равно нулю, и будем интегрировать силу по расстоянию по мере того, как петля входит в поле.

Фиг. 15.2. Петлю проносят через поле В (поперек него) в направлении x.

Рассчитаем сначала работу переноса каждой стороны по отдельности, а затем все сложим (вместо того, чтобы складывать силы до интегрирования). Силы, действующие на стороны 3 и 4, направлены поперек движения, так что на эти стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по x и равна 1bВ(x); чтобы узнать всю работу против действия магнитных сил, нужно проинтегрировать это выражение по x от некоторого значения х, где поле равно нулю, скажем, от х = -Ґ до теперешнего положения х₂:

(15.6)

Подобно этому, и работа против сил, действующих на сторону 1,равна

(15.7)

Чтобы вычислить каждый интеграл, надо знать, как В(х) зависит от х. Но ведь сторона 1 при движении рамки распо­ложена все время параллельно стороне 2 на одном и том же расстоянии от нее, так что в ее интеграл входит почти вся работа, затраченная на перемещение стороны 2. Сумма (15.6) и (15.7) на самом деле равна

(15.8)

Но, попав в область, где В на обеих сторонах 1 и 2 почти оди­наково, мы имеем право записать интеграл в виде

где В — поле в центре петли. Вся вложенная механическая энергия оказывается равной

Это согласуется с выражением для энергии (15.4), выбранным нами прежде.

Конечно, тот же вывод получился бы, если бы мы до инте­грирования сложили все силы, действующие на петлю. Если бы мы обозначили через В₁поле у стороны 1 а через В₂— поле у стороны 2, то вся сила, действующая в направлении х, оказа­лась бы равной

Если петля «узкая», т. е. если В₂и В₁не очень различаются между собой, то можно было бы написать

Так что сила была бы равна

(15.10)

Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, рав­нялась бы

а это опять -mB. Но теперь нам становится понятно, почему получается, что сила, действующая на небольшую токовую петлю, пропорциональна производной магнитного поля, как это следовало ожидать из

Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исклю­чено, что не все виды энергии вошли в формулу U_мех= m·B (ведь это просто некоторая имитация энергии), ею все же можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, чтобы узнать, какие силы действуют на петли с постоянным током.

§ 2. Механическая и электрическая энергии

Теперь мы хотим пояснить, почему энергия U_мех, о которой говорилось в предыдущем параграфе, не настоящая энергия, связанная с постоянными токами, почему у нее нет прямой связи с полной энергией всей Вселенной. Правда, мы подчерк­нули, что ею можно пользоваться как энергией, когда вычис­ляешь силы из принципа виртуальной работы, при условии, что ток в петле (и все прочие токи) не меняется. Посмотрим теперь, почему же все так выходит.

Представим, что петля на фиг. 15.2 движется в направлении +х, а ось z примем за направление В. Электроны проводимости на стороне 2 будут испытывать действие силы, толкающей их вдоль провода, в направлении у. Но в результате их движения по проводу течет электрический ток и имеется составляющая скорости v_yв том же направлении, в котором действует сила. Поэтому над каждым электроном каждую секунду будет произво­диться работа F_yv_y , где v_y — компонента скорости электрона, направленная вдоль провода. Эту работу, совершаемую над электронами, мы назовем электрической. Оказывается, что когда петля движется в однородном поле, то полная электриче­ская работа равна нулю, потому что на одной части петли работа положительная, а на другой — равная ей отрица­тельная. Но при движении контура в неоднородном поле это не так — тогда остается какой-то чистый избыток одной работы над другой. Вообще-то эта работа стремится изменить поток электронов, но если он поддерживается неизменным, то энергия поглощается или высвобождается в батарейке или в другом источнике, сохраняющем ток постоянным. Вот именно эта энергия и не учитывалась, когда мы вычисляли U_мех в (15.9), потому что в наши расчеты входили только механические силы, действующие на провод.

Вы можете подумать: но сила, действующая на электроны, зависит от того, насколько быстро движется провод; быть мо­жет, если бы провод двигался достаточно медленно, этой элект­рической энергией можно было бы вообще пренебречь. Дейст­вительно, скорость, с какой высвобождается электрическая энер­гия, пропорциональна скорости провода, но все же полная выделенная энергия пропорциональна к тому же еще и времени, в течение которого проявлялась эта скорость. В итоге полная выделенная электрическая энергия пропорциональна произве­дению скорости на время, а это как раз и есть пройденное расстояние. Каждому пройденному в поле расстоянию отвечает заданное, и притом одно и то же, количество электрической работы.

Возьмем кусок провода единичной длины, по которому течет ток I. Провод движется перпендикулярно самому себе и маг­нитному полю В со скоростью v;_провод. Благодаря наличию тока сами электроны обладают скоростью дрейфа v_дрейфвдоль провода. Компонента магнитной силы, действующей на каждый электрон в направлении дрейфа, равна q_e v_провод В. Значит, скорость, с какой производится электрическая работа, равна Fv_дрейф = (q_ev_проводВ)v_дрейф. Если на единице длины провода имеется N проводящих электронов, то вся величина электрической работы, производимой в секунду, такова:

Но Nq_еv_дрейф равно току I в проводе, так что

И поскольку ток поддерживается неизменным, то силы, действующие на электроны проводимости, не ускоряют их; электрическая энергия переходит не к электронам, а к тому источнику, который сохраняет силу тока постоянной.

Но заметьте, что сила, действующая на провод, равна IB; значит, IBv_провод — это механическая работа, выполняемая над проводом в единицу времени, dU_мех/dt = IBv_провод. Отсюда мы заключаем, что механическая работа перемещения провода в точности равна электрической работе, производимой над источником тока, так что энергия петли остается постоянной!

Это не случайность. Это следствие закона, с которым мы уже знакомы. Полная сила, действующая на каждый из заря­дов в проводе, равна

Скорость, с которой производится работа, равна

(15.12)

Если электрического поля нет, то остается только второе слага­емое, а оно всегда равно нулю. Позже мы увидим, что изменение магнитных полей создает электрические поля, так что наши рас­суждения применимы лишь к проводам в постоянных магнит­ных полях.

Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях.

Но представим себе полную систему, наподобие изображен­ной на фиг. 15.3,а, где петля с током I вдвигается в магнитное поле B₁ созданное током I₂ в катушке. ТокI₁, текущий по петле, тоже будет создавать какое-то магнитное поле В₂ близ катушки. Если петля движется, то поле В₂ изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.

Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но уже сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относи­тельности.

Фиг. 15.3. Вычисление энергии маленькой петли в магнитном поле.

Приближаем петлю к неподвижной катушке и знаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противо­положна по знаку произведенной механической работе. Иначе говоря,

Теперь предположим, что мы смотрим на происходящее с другой точки зрения: будем считать, что петля покоится, а катушка приближается к ней. Тогда катушка движется в поле, создан­ном петлей. Те же рассуждения приведут к выражению

Механическая энергия в обоих случаях одна и та же — она определяется только силой, действующей между двумя конту­рами.

Сложение двух уравнений дает

Полная энергия всей системы равна, конечно, сумме двух элект­рических энергий и взятой один раз механической энергии. В итоге выходит

Полная энергия всей системы — это на самом деле U_мех со знаком минус. Если нам нужна, скажем, полная энергия магнитного диполя, то следует писать

И только тогда, когда мы потребуем, чтобы все токи оставались постоянными, можно использовать лишь одну из частей энергии U_мех (всегда равную истинной анергии со знаком минус) для вычисления механических сил. В более общих задачах надо соблюдать осторожность, чтобы не забыть ни одной из энергий. Сходное положение наблюдалось и в электростатике. Мы показали там, что энергия конденсатора равна Q²/2C. Когда мы применяем принцип виртуальной работы, чтобы найти силу, действующую между обкладками конденсатора, то изменение энергии равно Q²/2, умноженному на изменение в 1/С, т. е.

(15.14)

А теперь предположим, что нам надо было бы подсчитать работу, затрачиваемую на сближение двух проводников, но при другом условии — что напряжение между ними остается постоянным. Тогда правильную величину силы мы могли бы получить из принципа виртуальной работы, если бы поступили немного искусственным образом. Раз Q = CV, то полная энер­гия равна ¹/₂ CV². Но если бы мы ввели условную энергию, равную —¹/₂CV², то принцип виртуальной работы можно было бы применить для получения сил, полагая изменение этой условной энергии равным механической работе (это при условии, что напряжение V

считается постоянным). Тогда

(15.15)